Sumas de operadores monótonos y subdiferencial de funciones cuasiconvexas

Abstract

Esta tesis es una contribución a la teoría de operadores monótonos, compuesta de dos partes, la primera dedicada a las sumas generalizadas de operadores monótonos y la segunda al subdiferencial de las funciones cuasi-convexas. En la primera parte, luego de una breve presentación de algunas herramientas de análisis convexo y funcional, hacemos un estudio de la suma extendida de operadores monótonos y de la composición extendida do un operador monótono con un operador lineal continuo. Inicialmente, establecemos nuevas propiedades de esta suma, como el hecho que la suma de operadores maximales monótonos es monótona. Luego, establecemos una relación entre las nociones de suma y composición extendidas, con lo cual es posible obtener propiedades de uno de estos conceptos a partir de las propiedades del otro. También hacemos un estudio comparativo entre la suma extendida y la suma variacional, y lo correspondiente con las composiciones extendida y variacional. En el caso que la suma extendida sea maximal monótona, encontramos que ella coincide con la suma variacional. Este último hecho ha permitido extender y recuperar algunas relaciones conocidas entre estas nociones. Cuando el espacio en que trabajamos es de dimensión finita, mostramos que si la suma extendida (variacional) es prernaximal monótona entonces su única extensión maximal monótona es la suma variacional. En la segunda parte, estudiamos el subdiferencial de Clarke-Rockafellar de las funciones (semi-)estrictas cuasiconvexas continuas. Introducimos el concepto de operador variacionalmente (semi-) estricto cuasi monótono y mostramos que éste caracteriza el subdiferencial de las funciones (semi- )estrictas cuasiconvexas continuas. La definición propuesta es una extensión de la definición estándar de cuasi monotonía (semi-)estricta, definición sólo apropiada para los operadores que tienen valores no vacíos en cada segmento. Los resultados obtenidos son extensiones de los existentes para el caso localmente Lipschitziano. Para finalizar, mostramos que la desigualdad variacional de Minty tiene soluciones no vacías en cada subconjunto no vacío, convexo y débilmente compacto, siempre que el operador asociado a este problema sea variacionalmente (semi-)estricto cuasimonólono.