Funciones doblemente periódicas con mención a las funciones y curvas elípticas

Abstract

El presente trabajo expone un estudio elemental, de los puntos racionales sobre variedades algebraicas principalmente sobre curvas o variedades abelianas, de las cuales son un caso muy importante las curvas elípticas. A fines del siglo IXX consideraron solamente casos especiales. El primer caso general fue descubierto, alrededor de 1890, con los trabajos de Hurwitz y Hilbert, donde ellos introdujeron el hoy en día natural punto de vista de la Geometría algebraica: i X ' en do curva algebraicas proyectivas se dice que el- las son equivalente o birracionalmente equivalentes sobre (Q, si sus puntos racionales se corresponden mediante funcione s racionales. De allí la importancia de la invarianza birracional, de donde se deriva la noción fundamental de género de una curva. Ellos estudiaron en especial el caso del género cero. Teorema 0.0.1. Una curva de género cero es isomorfa a una cónica. Si tiene un punto racional sobre Q, entonces es isomorfa a P1 , y así tiene un número infinito de puntos racionales sobre Q. Poincaré retomó este problema (alrededor de 1901), aparentemente sin considerar el trabajo de Hurwitz y Hilbert. El proporcionó un claro tratamiento del caso g = O. Después en 1 caso d género 1 (hay equivalencia birracional entre curvas de género 1 y curvas elípticas) el demostró que, si un punto racional sobre una curva es elegido un origen, los puntos racionales forman un grupo. La conjetura de que el grupo de puntos racionales sobre una curva de género 1 s finitamente generado ('D Teorema de Mordell-Weil) puede ser atribuido a él.