Aplicación del método perturbativo diferencial al análisis de sensibilidad en problemas de golpe de ariete en redes hidráulicas

Abstract

En este trabajo se generaliza la aplicación del método perturbativo diferencial al análisis de sensibilidad en problemas de golpe de ariete para redes hidráulicas complejas y se analiza la función importancia. El fornalismo del método, en síntesis, consiste en formular un problema directo, su problema derivado y su correspondiente problema adjunto. El “problema directo” que tratamos es el fenómeno de golpe de ariete. Partimos de sus ecuaciones clásicas: la ecuación de momento (en la que se considera el término de fricción) y la ecuación de continuidad (en la que se considera el acoplamiento de la compresibilidad del fluido y la elasticidad de la tubería). Las condiciones de borde están dadas por las condiciones iniciales (en nuestro caso analizaremos un estado estacionario) y las condiciones de contorno (en las componentes hidráulicas). Las variables de estado (las variables dependientes) son la altura piezomètrica y la velocidad, mientras que el espacio de las fases (variables independientes) está dado por la posición y el tiempo. El problema derivado se obtiene al derivar las ecuaciones y condiciones de borde directas respecto a un determinado parámetro (constante física o adimensional) que se puede encontrar en las ecuaciones y/o condiciones de borde directas. T .as variables derivadas resultan ser las derivadas de las variables de estado respecto a dicho parámetro. El problema adjunto se obtiene a partir del problema derivado y de la definición dada por el formalismo, de donde resultan las ecuaciones adjuntas y el concomitante bilineal. Las condiciones de borde adjuntas se eligen de tal manera de simplificar la evaluación del concomitante bilineal. Las variables adjuntas constituyen lo que denominaremos la función importancia. En el presente estudio se analiza la variación de los funcionales de respuesta, los cuales en nuestro caso son la altura piezomètrica y la velocidad en una posición y tiempo predeterminados, respecto a la variación de algún parámetro. Se obtienen mediante este análisis los llamados coeficientes de sensibilidad. Para la solución de las ecuaciones directas, debido a su naturaleza hiperbólica y no lineal, se utilizó el método de las características y una posterior discretización en el espacio de las fases (posición y tiempo). Como herramienta de resolución de las ecuaciones de golpe de ariete se utilizó el programa WHAT (Waterhammer Analysis in Tubes). Para la solución de las ecuaciones adjuntas también se utilizó el método de las características, siendo la posterior discretización similar a la del problema directo. Para la resolución se utilizó un paso temporal intermedio. Para la resolución del problema adjunto se desarrolló el programa ADWHAT (Adjoint Waterhammer Ana1ysis in Tubes). Para el cálculo de los coeficientes de sensibilidad por aplicación del método perturbativo, se desarrolló el programa SANWHAT (Sensitivity Analysis for WHAT). Como ejemplo de aplicación se consideró una red de cierta complejidad en la que se tiene varios tipos de componentes hidráulicos, así como ramas de tuberías. Se calcularon coeficientes de sensibilidad en tres puntos pertenecientes a tramos distintos de la red, para el tiempo en que la altura de presión es máxima. Los resultados de los coeficientes de sensibilidad obtenidos por aplicación del método perturbativo tienen un buen acuerdo con los obtenidos en base a los resultados del problema directo. Por otro lado, de los resultados obtenidos, se encuentra que la función importancia cuantifica el peso de los resultados del problema directo en toda posición y tiempo en el funcional de respuesta. En el análisis de la función importancia se determinaron coeficientes de reflexión y trasmisión para las variables adjuntas. Esto muestra que la función importancia se propaga en los componentes en forma análoga a lo que sucede en el problema directo.

In this work the application of the differential perturbative method to the sensitivity analysis in waterhammer problems for complex hydraulic networks was generalized. The differential perturbative method involves the formulation of a direct problem, a derived problem and its corresponding adjoint problem. In the direct problem, we started from the waterhammer equations, taking into account the friction tem1 and the elasticity of the pipes. The state variables includes the piezometric height and the velocity, while the phase variables includes the axial position and time. The generalized boundary conditions are given by the initial conditions and the conditions stated at the different hydraulic components. The derived problem was obtained by taking the partial derivative of the direct problem (direct equations, boundary conditions, state variables) with respect to a given parameter. From the derived problem and the definition of the adjoint (importance) function, the adjoint equations and the bilinear concomitant were obtained. The adjoint boundary conditions were chosen in order to simplify the evaluation of the bilinear concomitant. In this work the instantaneous values of the piezometric head and the velocity were chosen as response functionals. The direct problem was sol ved with the aid of the computer code WHA T (Waterhammer Analysis in Tubes ). In this program, the method of characteristics was used, and the direct equations were discretized in space and time. The adjoint problem was solved in a similar fashion. The computer code ADWHA T (Adjoint Waterhammer Analysis in Tubes) was developed. For the calculation of the sensitivity coefficients, the computer code SANWHA T (Sensitivity Analysis for \VHA T) was developed. As an example, a complex hydraulic network was considered. The sensitivity coefficients were calculated for different locations and parameters in the network, using both the adjoint function and the perturbed direct problem. The agreement between the sensitivity coefficients calculated in this way is satisfactory. In the analysis of the adjoint function the corresponding reflection and transmission coefficients were determined for different components. In this way, an analogy can be established with respect to the direct problem.