Métodos multimalla V-ciclo Y F-ciclo para el problema biarmónico usando el elemento Hsieh-Clough-Tocher

Abstract

Este trabajo presenta un estudio ordenado de los métodos multimalla para ecuaciones diferenciales de cuarto orden, usando el elemento finito conforme Hsieh-Clough-Tocher (HCT) para su discretización. Para el cual se elige como problema modelo al problema biarmónico de la losa de concreto armado, mostrándose su forma variacional, la existencia y unicidad de su solución. Se busca que la solución del problema sea lo suficientemente regular, para ello se amplía la búsqueda en espacios de Sobolev de índice fraccionario donde ya se sabe que el problema biarmónico tiene una regularidad elíptica α ∈ < ½, 1]. Se hace un estudio de los métodos multimalla, usando la teoría aditiva para mostrar la convergencia de los métodos V-ciclo y F-ciclo. Se adaptan los métodos multimalla para la discretización del elemento HCT y se demuestra que los métodos multimalla son convergentes para las ecuaciones diferenciales parciales de cuarto orden. Se muestran resultados numéricos de la convergencia de las multimallas, verificándose el análisis teórico. Se comparan los resultados de los diferentes algoritmos multimallas algebraicos, se muestran resultados de la solución numérica para el problema de la losa de concreto armado, usando el elemento finito HCT y las multimallas V-Ciclo, W-Ciclo y F-Ciclo en la solución del sistema lineal resultante, finalmente se dan algunas sugerencias para la mejora de ellos.

This paper presents an orderly study of multigrid methods for fourth-order differential equations using the finite element as Hsieh-Clough-Tocher (HCT) for its discretization. To which is chosen as a model problem to biarmonic problem of reinforced concrete slab, showing its variational form, the existence and uniqueness of its solution. It is intended that the solution of the problem is regular enough, to do the search is expands in Sobolev spaces of fractional index where it is already known that the problem has an elliptical biarmonic regularly α ∈ < ½, 1]. A study of the multigrid methods is using the additive theory for show the convergence of V-cycle and F-cycle methods. They adapt the multigrid methods for the discretization of the element HCT and shows that are convergent multigrid · methods for partial differential equations of fourth order. It numerical results show the convergence of multi mesh, verifying the theoretical analysis. The results of different multigrid algebraic algorithms are compared, results of the numerical solution to the problem of reinforced concrete slab are shown, using the finite element multigrid HCT and V-cycle, W-cycle and F-cycle in the solution the resulting linear system, finally some suggestions for improving them.