Curvas de Bezier y B-spline mediante los Blossoms

Abstract

El Diseño Geométrico Asistido por Computadora (CAGD) está relacionado con la representación, manipulación y el diseño de objetos por computador tales como: curvas, superficies y sólidos. Las herramientas matemáticas del CAGD son principalmente el análisis matemático, el análisis numérico, cálculo variacional, geometría diferencial, etc. Las principales aplicaciones se encuentran donde se necesitan métodos para describir matemáticamente los objetos que van a ser manufacturados por máquinas controladas por computador, como por ejemplo: en la industria aérea (diseño de alas, fuselajes de un avión, etc.), automotriz (diseño de las partes de un auto), etc. Otras aplicaciones se encuentran en los gráficos por computador, visualización científica (para describir los fenómenos físicos, geológicos, médicos, etc.) En las aplicaciones del diseño de una curva o superficie a menudo se define especificando interactivamente un conjunto de puntos, denominados puntos de control, los cuales nos determinan la forma de dicha curva. Las curvas y superficies de Bézier y B-spline son muy usados en muchos sistemas de CAGD. Las curvas de Bézier inicialmente fueron estudiados por P.Casteljau aproximadamente en 1959 y por P. Bézier aproximadamente en 1962. La teoría matemática está basada en el concepto de polinomios de Bernstein. De Casteljau estudió todas las relaciones que hablan con estos polinomios, pero no fue antes de 1970 que R. Forest descubrió la relación entre el trabajo de Bézier y los polinomios de Bernstein. Bézier y de Casteljau desarrollaron sus teorías como partes de sistemas de CAD las cuales fueron usadas por compañías francesas de autos: Renault, Citroën. Por otro lado, J. Ferguson [Ferguson '64] estudió las curvas polinomiales con ciertas restricciones de diferenciabilidad y fue el primero en presentar ese tipo de trabajo en los sistemas de CAGD, dichos sistemas fueron usados por la Compañía Boeing en 1963. Aproximadamente en ese tiempo C. de Boor y W. Gordon estudiaron estas curvas en la General Motor. Gordon y Riesenfeld [Gordon et al. '74] demostraron que las curvas B-spline son una generalización de la curva de Bézier. Los B-splines pueden ser enfocados desde diferentes puntos de vista [Farin '93], [Hoschek et al. '93] tales como: por integrales, por proyecciones de simplejos k dimensionales, métodos estadísticos, blossoming, etc. Un principio clásico en matemática es que los polinomios de una sola variable de grado p son equivalentes a aplicaciones p-afines simétricas [Ramshaw '87, '89]. Lyle Ramshaw aplicó este principio en la teoría de curvas y superficies de Bézier y B-spline y a la aplicación p-afin simétrica de un polinomio de grado p lo llamó como BLQSSGM. Mediante este nuevo enfoque fácilmente se puede entender y explicar los teoremas clásicos relacionados con las curvas y superficies de Bézier y B-spline.