El teorema de Mordell sobre el cuerpo gaussiano

Abstract

En el presente trabajo se desarrolla el Teorema de Mordell - Weil para curvas elípticas sobre el cuerpo gaussiano, para ello se define la curva sobre una extensión finita Q(i). Previo a esto, se desarrolla la teoría de las curvas elípticas se tratará también lo relacionado al espacio proyectivo bidimensional P_K^2, pues permite identificar los puntos del plano afín con los del plano proyectivo. Una curva elíptica es aquella de la forma Y2 + a1XY + a3Y = X3 + a2X2 + a4X + a6

Siendo a1; a2; a3; a4; a6 ϵ K (cuerpo) y se caracteriza por no poseer puntos singulares. Lo anterior es conocido también como ecuación de Weierstrass, la cual se puede simplificar a Y2 = X3 + AX + B; con A;B ϵ K

cuando la característica es diferente de 2 y 3. En ella se define la operación adición de puntos de una curva elíptica, y en la que se estudiaran los casos que se suelen presentar para efectuar dicha operación (secante, tangente). Posteriormente se estudiará lo concerniente al Teorema de Mordell-Weil sobre una extensión finita Q, el cual establece que todos los puntos racionales de una curva elíptica pueden generarse a partir de un número finito de ellos. Para ello se estudiará el Teorema del Descenso en la que definida una función altura h: A → R y siendo (A;⊕) un grupo abeliano y el grupo A=Ma es _nito, entonces A es finitamente generado, siendo m un entero. Demostraremos, luego, el Teorema débil de Mordell - Weil, el cual nos asegura que el grupo cociente E(Q)=2E(Q) es finito. A continuación, se demuestra el Teorema de Mordell - Weil, el cual dice que siendo E una curva definida sobre Q, entonces E(Q) es un grupo abeliano finitamente generado. Ya estudiado el Teorema de Mordell - Weil para Q, se procede a tratar el teorema para Q(i), el cual nos dice que el grupo cociente E(Q(i))=2E(Q(i)) es finito. Así, la presente tesis consta de cuatro capítulos los cuales son desarrollados como sigue: En el capítulo 1 se aborda lo concerniente a las Curvas en el espacio proyectivo, en el que se abarca el estudio del espacio proyectivo, las curvas y tangentes, concluyendo con el estudio de los enteros gaussianos. El capítulo 2 trata sobre la Teoría básica de una curva elíptica, en donde introduciremos la Ecuación de Wierstrass, el estudio de los puntos de la curva elíptica en el plano proyectivo, la ley de grupo, finalizando con el Teorema de Lutz Nagell. En el capítulo 3 se trata lo referente a Curvas elípticas en Q, en donde se define el método del descenso y se tratan los teoremas de Mordell - Weil. Finalmente, en el capítulo 4, se estudia el Teorema débil de Mordell - Weil en Q(i), apoyándonos para esto con la definición de Altura para el caso gaussiano, para luego proceder a demostrar el Teorema de Mordell-Weil para Q(i).