Sobre la densidad de odómetros en sistemas dinámicos con la propiedad de sombreamiento

Abstract

Un sistema dinámico discreto (X; T) es un odómetro si es equicontinuo y existe algún punto x regularmente recurrente para el cual O(x) = X. Nos interesa saber si podemos encontrar odómetros contenidos en un sistema dinámico (X; T) preestablecido. Para ello es necesario conocer la distribución de los puntos regularmente recurrentes dentro de X. Cuando nuestro sistema posee la propiedad de sombreamiento la colección de puntos regularmente recurrentes es densa en el conjunto de puntos no errantes ([14]). Conociendo ello, en este trabajo se da la demostración de la existencia de odómetros contenidos en sistemas que poseen la propiedad de sombreamiento. Más aún se demuestra que la colección de puntos cuya clausura de su ´orbita es un odómetro es densa en el conjunto de puntos no errantes. Adicionalmente, si el sistema es transitivo se demuestra que la colección de medidas ergódicas soportadas en odómetros es densa en el conjunto de medidas invariantes. El teorema central del trabajo lo desarrollamos basándonos en el artículo titulado “Properties of invariant measures in dynamical systems with the shadowing property”de Jin y Oprocha ([15]). Desarrollamos los preliminares necesarios para la prueba de los resultados principales empezando por Teoría de la medida y proporcionamos ejemplos que ayuden a una mejor comprensión de los aspectos desarrollados a lo largo del trabajo. Finalmente como aplicación de los resultados mostramos que los odómetros del shift están determinados por las órbitas de sus puntos periódicos y estudiamos los odómetros de la Herradura de Smale.

A discrete dynamical system (X; T) is a odometer if it is equicontinuous and there exists some regulary recurrent point x such that O(x) = X. We are interested to know if we can find odometers contained in a fixed dynamical system (X; T). For this reason it is necessary to know the distribution of the regulary recurrent points inside X. When our system have the shadowing property the collection of regulary recurrent points is dense on the non-wandering set ([14]). Knowing this, in this work it is given the proof of the odometers existence contained in systems which have the shadowing property. Moreover it is shown that the collection of points whose orbit closure is a odometer is dense on the non-wandering set. In addition, if the system is transitive it is shown that the collection of ergodic measures suported on odometers is dense in the invariant measures set. We develop the central theorem of this work basing in the article of Jin and Oprocha,“Properties of invariant measures in dynamical systems with the shadowing property”([15]). We develop the necessary background to prove our main results starting by Measure Theory y provide examples that will help to a better understanding of the aspect developed across this work. Finally as application we show that the shift odometers are determined by the orbits of its periodic points and study the Smale Horseshoe odometers.