Métodos multimalla V-ciclo y F-ciclo para el problema biarmónico usando el elemento Hsieh-Clough-Tocher

Abstract

Este trabajo presenta un estudio ordenado de los métodos multimalla para ecuaciones diferenciales de cuarto orden, usando el elemento finito conforme Hsieh-Clough-Tocher (HCT) para su discretización. Para el cual se elige como problema modelo al problema biarmónico. El problema biarmónico se lleva a su forma variacional, verificándose la existencia y unicidad de su solución. Se busca que la solución del problema sea lo suficientemente regular, para ello se amplía la búsqueda en espacios de Sobolev de índice fraccionario donde ya se sabe que el problema biarmónico tiene una regularidad elíptica a E (-, 1]. Se hace un estudio de los métodos multimalla, usando la teoría aditiva para mostrar la convergencia de los métodos V-ciclo y F-ciclo. Se adapta los métodos multimalla para la discretización del elemento HCT y se demuestra que los métodos multimalla son convergentes para las ecuaciones diferenciales parciales de cuarto orden, mostrándose que el número de contracción decrece uniformemente, si el número de pasos suaves se incrementa. También se muestra que para un número m de pasos totales (pre-suave y pos-suave) suficientemente grande, el número de contracción es menor o igual que mi/2, donde C es una constante independiente de la malla. Se muestran resultados numéricos de la convergencia de las multimallas, se encuentra el valor de la constante C para cualquier valor de m y a fijo, verificándose el análisis teórico. Se comparan los resultados de los diferentes algoritmos multimallas algebraicos, se muestran resultados de la solución numérica del problema biarmónico, usando el elemento finito HCT y las multimallas V-Ciclo, W-Ciclo y F-Ciclo en la solución del sistema lineal resultante, finalmente se dan algunas sugerencias para la mejora de ellos.