Estudio de la respuesta estructural de edificios tipo corte simple mediante métodos de análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales

Abstract

La simulación de la respuesta estructural frente a eventos sísmicos en edificaciones requiere resolver ecuaciones diferenciales utilizando métodos tradicionales cuantitativos obteniendo respuestas netamente numéricas, pero sin ningún análisis que nos muestre el comportamiento estable de la solución. En esta investigación se propone analizar la solución del problema de dos formas: numérica cuantitativa (utilizando Matlab) y cualitativa. Esta última proporciona herramientas para el análisis de la estabilidad de la solución del sistema, a través de su plano de fases se puede observar el comportamiento de la solución en su proximidad al punto crítico, el teorema de Lyapunov que nos permite obtener una función que nos dé condiciones de estabilidad, el teorema de Hartman-Grobman que permite aproximar un sistema no lineal a lineal cerca del punto de equilibrio y teoremas adicionales correspondientes de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ordinarias. Como resultado tendremos tres tipos de soluciones; inestables (ausencia de estabilidad), estables y asintóticamente estables, las dos últimas de vital importancia en obras de ingeniería civil, los comportamientos dinámicos de las estructuras deben ser seguras y estables durante y después de la acción del sismo, u otro tipo de fuerza externa (viento, explosión, tsunami). Por último, se estudiará la teoría del control que nos permitirá estabilizar sistemas lineales, incorporando al sistema dinámico un control que mande una señal eléctrica al actuador (ejemplo: disipador activo magneto-reológico) contrarrestando el movimiento que proviene de las fuerzas externas (sísmicas, viento etc.) y asegurando así la estabilidad del sistema dinámico.

The simulation of the structural response to seismic events in buildings requires solving differential equations using traditional quantitative methods, obtaining purely numerical responses, but without any analysis that shows us the stable behavior of the solution. In this research it is proposed to analyze the solution of the problem in two ways: quantitative numerical (using Matlab) and qualitative. The latter provides tools for the analysis of the stability of the system solution, through its phase plane the behavior of the solution can be observed in its proximity to the critical point, Lyapunov's theorem that allows us to obtain a function that give stability conditions, the Hartman-Grobman theorem that allows a nonlinear system to be approximated to linear near the equilibrium point and corresponding additional theorems of the qualitative theory of ordinary differential equations. As a result, we will have three types of solutions; unstable (lack of stability), stable and asymptotically stable, the last two of vital importance in civil engineering works, the dynamic behavior of the structures must be safe and stable during and after the action of the earthquake, or another type of external force (wind, explosion, tsunami). Finally, the theory of control will be studied that will allow us to stabilize linear systems, incorporating into the dynamic system a control that sends an electrical signal to the actuator (example: active magneto-rheological dissipator) counteracting the movement that comes from external forces (seismic, wind etc.) and thus ensuring the stability of the dynamic system.