Métodos algorítmicos Lagrangiano Aumentado-Proximal-Haces para problemas de desigualdad variacional

Abstract

En este trabajo se extienden los métodos del Lagrangiano Aumentado, Proximal y Haces desarrollados en la reciente monografía del IMCA N° 55 “Métodos Algorítmicos Haces-Proximal-Lagrangiano Aumentado para Problemas de Optimización Matemática" (y referencias citadas en esta) al caso general de problemas de desigualdad variacional monótono con restricciones de igualdades lineales y desigualdades convexas. El primer capítulo muestra como deducir el marco de dualidad para problemas de desigualdad variacional a partir del marco de dualidad para problemas de optimización. Obteniendo así problemas equivalentes denominados problema variacional dual y problema variacional minimax. El segundo capítulo desarrolla el método de Lagrangiano Aumentado para el problema variacional a partir de su problema variacional dual. Se considera dos casos para una mejor comprensión: el caso con restricciones de igualdades lineales y el caso con restricciones de desigualdades convexas. El tercer capítulo desarrolla el método Lagrangiano Aumentado--Proximal para el problema variacional, en el cual combinamos el método obtenido en el Capítulo 2 con el método Proximal. Esto nos lleva a un algoritmo en el cual debemos resolver subproblemas variacionales irrestrictos donde sus operadores asociados son fuertemente monótonos. El cuarto capítulo desarrolla el método de Haces (en inglés, bundle) para resolver el problema variacional irrestricto de un operador fuertemente monótono. Obteniendo un algoritmo implementable, en el cual sólo se exige que el operador sea maximal fuertemente monótono de coeficiente conocido positivo y cuyo dominio sea todo el espacio.