Utilización de la teoría de dualidad en la solución de inecuaciones variacionales y quasivariacionales mediante el método de elementos finitos

Abstract

Los problemas con inecuaciones variacionales se presentan con frecuencia en diversos modelos matemáticos originados en la Mecánica de fluidos, Elasticidad y la Teoría de control. Usualmente se enfrenta el problema de minimizar una cierta funcional definida sobre un espacio de Hilbert, que puede representar la energía total del sistema, o la velocidad del flujo de un fluido. En los últimos 50 años se viene realizando un intenso proceso de investigación relacionado a estos problemas que involucran Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP’s). Parte importante de los logros obtenidos en la investigación de estos temas se deben al matemático Jacques-Louis Lions (1928-2001) quien en colaboración con otro matemático importante en este tema, Guido Stampacchia, publicó en 1965 un trabajo titulado “Inéquations variationnelles non coercives”, ellos además son autores del teorema Lions- Stampacchia, que nos permite demostrar la existencia y unicidad de solución de los problemas que involucran inecuaciones variacionales (IVE’s); así mismo es relevante la investigación de los modelos físicos que involucran IVE’s llevada a cabo por Lions y Duvaut entre 1969 y 1970, y que se encuentra condensada en el libro “Les inéquations en Mecánique et en Physique”. Es finalmente en colaboración con Alain Bensoussan, que aparece la publicación “Contrôle impulsionnel et inéquations variationelles” donde se plantean problemas originados en la economía mediante inecuaciones quasivariacionales (IQV). El presente trabajo consiste en buscar una solución numérica de un problema de frontera con EDP’s, mediante el tratamiento de los problemas variacionales y quasivariacionales originados; existen muchas alternativas al momento de aproximar la solución de un problema con IVE’s, como son: el método de relajación, el método del gradiente y el método de penalización, que junto con otras variantes tienen como principal ventaja la sencillez teórica y la facilidad para codificar los algoritmos correspondientes, pero al mismo tiempo tienen como desventaja la dificultad en el tratamiento de funcionales no diferenciables. En el presente trabajo se utiliza el método de dualidad para la resolución de problemas que involucren (IVE’s), mediante la optimización de funcionales convexos que permitan formular el problema variacional como dos problemas: problema primal y problema dual, de los cuales se elige el problema dual para facilitar la búsqueda de la solución aproximada utilizando el Método de Elementos Finitos (MEF). Además la introducción de la dualidad permite el tratamiento de los funcionales no diferenciables mediante la búsqueda del punto de silla del lagrangiano asociado al problema de optimización dual; para esto utilizamos un algoritmo de tipo Uzawa. Este algoritmo puede usarse tanto para las IVE’s de primera especie como para las de segunda especie. La no diferenciabilidad se salva mediante la introducción de j * el funcional conjugado de j, haciendo uso de la aproximación Yosida para el caso de los operadores monótonos maximales.

El contenido del trabajo está descrito en cuatro capítulos. En el primero se exponen los conceptos básicos y resultados necesarios para sustentar el desarrollo que realizaremos a lo largo del presente estudio. En el segundo capítulo se desarrolla la formulación de la teoría de dualidad y su aplicación en la resolución de las IVE's. En el tercer capítulo se toma como problema test un problema de filtración de un fluido en un medio poroso que conduce a formulaciones débiles asociadas a funcionales no diferenciables. En el cuarto capítulo se realiza la resolución numérica mediante del Método de Elementos Finitos para el problema variacional y quasivariacional obteniéndose los resultados numéricos correspondientes.