Acerca de la clasificación topológica y diferenciable de superficies compactas

Abstract

El objetivo del presente trabajo es el desarrollo completo y autocontenido sobre la clasificación topològica y diferenciable de las superficies compactas, asunto de interes primario en el area de Topología y con aplicaciones fundamentales y variadas en todas las areas de la Matematica y Física. La clasificacion topologica de las superficies compactas contenidas en el espacio tridimensional fue dada por Riemann y Jordan, aunque sus demostraciones no fueron satisfactorias. Ellos se basaban en resultados que parecían evidentes que luego ni ellos ni muchos matematicos podían demostrarlos con la matemòtica que había hasta esos momentos. Tuvo que pasar mucho tiempo para que se llegarò a tener la maquinaría necesaria para poder demostrar la clasificaciòon topolòogica y mayor tiempo auòn para la clasificaciòon diferenciable. El presente trabajo da una clasificaciòon diferenciable de las superficies compactas (con borde o no) siguiendo metodos mas sofisticados dentro de la Topología Diferencial. La Teoría de Morse que trata del estudio de curvas de nivel de funciones y la Teoría de ecuaciones sobre superficies nos proveen de las herramientas necesarias para la prueba completa de la clasificación de superficies compactas. El teorema de la clasificacion topologica es encontrado en muchas partes de la literatura matematica. Sin embargo lo mismo no ocurre con el teorema de clasificacion diferenciable, en donde las pruebas que aparecen acostumbran a estar incompletas debido a las sofisticaciones descritas anteriormente. Esas dificultades son superadas en esta tesis.