Dinámica de aplicaciones holomorfas sobre el espacio proyectivo

Abstract

Las aplicaciones holomorfas de P1 en P1 se pueden expresar en coordenadas homogéneas como p(x,y) : q( x , y)], donde p, q son polinomios homogéneos del mismo grado y sin factores comunes, que en coordenadas afines se puede expresar como p(1,x)/q(1,x), razón por la cual estudiar la dinámica de una aplicación holomorfa R de P1 en P1 es estudiar la dinámica de una aplicación racional. El comportamiento dinámico de la familia {Rn} de aplicaciones racionales se hace a través de dos conjuntos. El conjunto de Fatou, que es el máximo abierto donde la familia {Rn} es equicontinua o normal, y el conjunto de Julia definido como el complemento del conjunto de Fatou. Para el caso de una variable tenemos el Teorema de Montel, que nos da un criterio para afirmar cuando una familia de aplicaciones es normal. Para el caso de varias variables también podemos expresar una aplicación holomorfa en la forma [Po : p1 : p2 : ... : pn] ; donde los Pi E C[x0 , x1, ..., xn] son polinomios homogéneos del mismo grado y sin factores comunes, y podemos definir los conjuntos de Fatou y Julia de modo análogo al caso unidimensional, sin embargo no tenemos una herramienta análoga al Teorema de Montel, esta dificultad es salvada introduciendo la Geometría Hiperbólica de Kobayashi, la cual permite definir las variedades hiperbólicas en el sentido de Kobayashi la importancia de estas variedades radica en que las aplicaciones holomorfas definidas en estas variedades con­ traen distancia. Un concepto más fuerte que hiperbolicidad y que también veremos es el llamado encaje hiperbólico, además utilizando Teoremas debido a Borel veremos que el complemento de 2n + 1 hiperplanos en posición general, está hiperbólicamente encajado en Pn. Uno de los resultados centrales en esta monografía, es que genéricamente las aplicaciones holomorfas f : P2 ---+ P2 , tienen la propiedad que el complemento de sus cinco primeras iteraciones de su conjunto de puntos críticos está hiperbólicamente encajado en P2.