Homología de Hochschild y homología cíclica

Abstract

En el capítulo 1 hacemos las definiciones de categorías y funtores, en particular para A un anillo con unidad; consideramos las categorías de módulos a derecha MA e Izquierda AM. Para A e MA y B e AM; consideramos los funtores aditivos F = A ®A —, que lleva la categoría aM a la categoría de grupos abelianos Ab, y G = — ®A B que lleva la categoría MA a la categoría de grupos abelianos Ab. Es importante aclarar que en la tesis cuando nos referimos a los A-modulos estas son a izquierda. Luego damos las definiciones de secuencias o sucesiones exactas e inexactas de A-modulos, que nos permiten dar la definicion de un complejo, que es un objeto C de la categoría de módulos graduados MA (izquierda) con un endomorfismo d de grado —1 cuya sucesion es semi exacta (dd = 0), el conjunto de estos objetos definen la categoría de los complejos Comp. Luego definimos la Homología de un Complejo, para cada n e Z se tiene Nu d Hn(C) = -—n , el cual es un funtor aditivo de la categoría de Comp a la Im dn+1 categoría aM. Definimos luego una sucesion exacta corta de complejos, que es una sucesion de morfismos de complejos 0 > A —^ B —9—> C ^ 0 tal que para cada n e Z la sucesioín 0 -An — Bn — Cn 0 es exacta corta. Para toda sucesion exacta corta de complejos existe una sucesion exacta larga en homología i* Hn+1 (C) ^ Hn(A)^ Hn(B) Hn(c) - Hn-i(A) ^ ••• donde d es llamado homomorfismo conectivo. Luego definimos una resolucioín proyectiva del A-míodulo A como un complejo exacto (C, d) donde Cn = 0 para n < 0 y Co = A, cuyo complejo reducido CA es proyectivo, es decir, Cn proyectivo para n > 1. Tambien se tiene que todo A- mídulo admite una resolucion proyectiva. Para B e AM definimos el funtor derivado TorA(A,B) = Hn(GCA) , donde CA es una resoluciín proyectiva del A-mídulo A y G es el funtor G = — ®A B. Finalmente damos un manera de extender el funtor T definido sobre la categoría de algebras con unidad con valores en grupos abelianos a la categoría de álgebras (no necesariamente con unidad). Para esto, sea A un k-álgebra sin unidad, podemos formar un k-algebra con A+ = k ® A. La definicián de extensián de T a k-álgebras sin unidad es dada por T(A) := Conucleo(T(k) ^ T(A+)). En el capítulo 2 definimos un A-bimodulo M, para luego definir el complejo de Hochschild de A con coeficientes en M denotado por (C*(A,M),b), donde Cn(A, M) = M ® A0n y b es llamado el borde de Hochschild, y la homologia del complejo es llamada homologia de Hochschild de A con coeficientes en M. Si A = M, se escribe HH*(A) = H*(A,A), llamada homología de Hochschild de A. Se tiene para cada n E Z que Hn(A, —), Hn(—, M) son funtores covariantes; además HH* es un funtor covariante de las categoría de k-algebras asociativas a la categoría de k-modulos graduados. Luego definimos la resolución barra (C*(A),b'). Para la k-álgebra proyectiva A y para todo A-bimádulo M y todo n > 0 se tiene Hn(A, M) = TorA®A°P(M, A). Tambien definimos el complejo de Hochschild normalizado (C*(A,M),b). En el capitulo 3 damos la definicion de bicomplejos, complejos totales de un bicomplejo y los grupos de homologi/a de un bicomplejo. Ademas se define el complejo mixto B(A) y la homologia cirílica del complejo mixto, que es la homología del complejo total del bicomplejo B(A); y la secuencia SBI para complejos mixtos. Damos dos definiciones de Homologirí cirílica de un k-álgebra asociativa A, la primera a partir del bicomplejo CC(A) y el segundo a partir del bicomplejo B(A). Luego demostramos que coinciden con la homologirí cáclica definida a partir del complejo reducido B(A). En el capátulo 4, hacemos el cálculo de la homologáa cirílica de T(V), el algebra tensorial del k-modulo V, aplicando todos los resultados y propiedades vistas en los capitulos anteriores. En el último capitulo mencionamos algunas conclusiones.