Número p-ádicos y racionalidad de la función zeta de una hipersuperficie afín

Abstract

En esta monografía desarrollaremos los conceptos de valuación y valores absolutos sobre dominios. Un valor absoluto no arquimediano nos brindará una métrica mediante el podremos establecer la noción de convergencia de series sobre estos dominios. El caso principal de valuación a tratar será la valuación p-ádica sobre el cuerpo de los números p-ádicos Qp. Esta valuación será extendida sobre las extensiones finitas de Qp y una clausura algebraica de Qp, para luego ser extendida en Cp, el cuerpo de los números p-ádicos complejos. El segundo caso importante de valuación que estudiaremos sera la valuación X-ádica que nos permitirá construir elementos y propiedades en un anillo de series formales dado. Con esto podremos desarrollar las propiedades generales que cumplen las series de potencias en Cp, como también construir series formales que posean propiedades útiles para el último capítulo. Luego, definimos el concepto de hipersuperficie afín sobre un cuerpo finito como el conjunto de ceros de un polinomio en varias variables y la función zeta de una hipersuperficie como una serie formal construida a partir de los cardinales de las hipersuperficies generadas por un mismo polinomio sobre los distintos cuerpos nitos. Finalizamos el trabajo demostrando la racionalidad de este tipo de serie formal, esto es, la función zeta se expresa como cociente de polinomios con coeficientes en Q; este resultado es conocido como el Teorema de Dwork, el cual dio solución a una de las muchas interrogantes que existían en relación a la función zeta de una hipersuperficie.