Resolución numérica de las ecuaciones diferenciales con retardo mediante Runge-Kutta explícito y su aplicación en biomatemática

Abstract

En diversos problemas físicos y biológicos existen modelos que son descritos en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, la teoría de las ecuaciones diferenciales abarca también un campo muy importante que corresponde a las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) la cual se ocupa de modelos donde la variación de la variable de estado x con el tiempo depende en cada instante t no sólo de x(t) sino también de los valores de x en instantes anteriores. En el presente trabajo estamos interesados en el estudio numérico del comportamiento de la solución de este tipo de ecuaciones que se muestran en forma general y en aplicaciones. Una de las motivaciones más importantes para el estudio de la ecuaciones diferenciales con retardo viene de la biomatemática. Estos modelos tienen la particularidad de que su comportamiento genera una curva conocida como curva logística la cual no es fácil de encontrar de manera exacta cuando se trata de que el término no lineal depende de un retardo. Otra de las características es que existe inestabilidad en las soluciones, en particular las soluciones de los problemas de valor inicial asociados presentan punto de inflexión a través de su trayectoria. En el presente trabajo pretendemos cumplir los siguientes objetivos: un breve estudio cualitativo del comportamiento de la solución de las EDR y el análisis cuantitativo mediante la resolución numérica de los problemas de valor inicial asociados a las EDR. El contenido del trabajo comprenderá cinco capítulos distribuidos de la siguiente forma, en el capítulo preliminar se describirá algunos resultados encontrados sobre el concepto de una ecuación diferencial con retardo, en el segundo capítulo está relacionado al comportamiento cualitativo de la solución, se presentan también algunos resultados de existencia y unicidad de solución, así como también de algunas propiedades cualitativas referidas a la estabilidad de las EDR’s, se considera también la aplicación del criterio de Mikhailov como contribución al análisis de comportamiento y existencia de solución del problema, en el tercer capítulo se describe el método de Runge-Kutta explícito de etapas, en el cuarto capítulo se aplica el método de Runge-Kutta para hallar la solución numérica de los problemas de valor inicial asociados a las EDR, en este capítulo se implementa también los algoritmos para la visualización de la solución explícita en losdiversos modelos utilizados. Para entender y comprobar la metodología desarrollada, se utilizarán los resultados en algunos fenómenos biológicos modelados matemáticamente como problemas de valor inicial asociados a EDR, estos modelos utilizados son los siguientes: Comportamiento del crecimiento tumoral, diseminación de infecciones, cinética de la enzimas y crecimiento viral. En todos ellos es nuestro interés determinar el comportamiento de la variable de estado de la cual solo se conoce que está alterada por un parámetro de retardo en el control inicial. Finalmente se presentan las conclusiones sobre los resultados obtenidos y se listan las referencias bibliográficas que sirvieron para el desarrollo del trabajo.