Polinomios, raíces y algunas aplicaciones en una variable

Abstract

El estudio de los polinomios tiene una connotada trascendencia, podemos en primer termino decir que la aritmética de los polinomios en un cierto cuerpo es análoga a la de los enteros en cuanto a la divisibilidad, el algoritmo de la división, factorización, aparece la diferencia cuando se trata de estudiar sus raíces y su comportamiento. Los polinomios son vistos como entes matemáticos que tienen aplicaciones cuantiosas, entre ellos está, por ejemplo, hallar los valores propios de una matriz cuadrada, para resolver una ecuación diferencial lineal de orden n y de coeficientes constantes, y también ciertos fenómenos físicos y biológicos que se pueden modelar a través de un polinomio. El presente trabajo se divide en capítulos. En el capítulo 1 se hace un concepto general de los polinomios. En el capítulo 2 se enfoca el algoritmo de la división, para demostrar el teorema del resto, luego define la raíz de un polinomio. Se prueba el algoritmo de Euclides usando propiedades del máximo común divisor de polinomios. Se define polinomios primos como polinomios irreducibles en un cierto cuerpo. Si el polinomio tiene una cierta raíz en un determinado cuerpo K, entonces el polinomio no necesariamente es reducible en dicho cuerpo. Se define las raíces múltiples de un polinomio y de las propiedades relacionadas con las derivadas del polinomio. Finalmente se concluye con el polinomio interpolador, para hallar los valores aproximados de ciertas funciones que no son polinomios. En el capítulo 3 se estudia como punto de partida el teorema fundamental del álgebra, se prueba dicho teorema con conocimiento del análisis complejo, en resumen “cualquier polinomio en el anillo de los complejos de grado n, tiene n raíces”, se logra dar una particularización detallada para polinomios cúbicos y cuarticos. Para polinomios de grado mayor o igual a 5, no existe una fórmula universal en radicales, esto se demuestra usando la teoría de Galios que es imposible expresar sus raíces, en general, de esta manera. En el capítulo 4 se estudia las raíces de los polinomios en el anillo de los racionales y relaciona teoremas importantes para obtener las raíces racionales y se aplica procedimientos para identificar las raíces. Se establece criterios para ver la irreducibilidad de polinomios en Q. También se estudia un algoritmo para observar si un polinomio es o no irreducible en Q, que es el algoritmo de Kronecker, que usa el polinomio interpolador. En el capítulo 5 se estudia los polinomios en R y se da propiedades de las raíces en los complejos, destaca que todo polinomio en R se puede expresar como multiplicación de polinomios irreducibles de primero y segundo grado en R. Se aplica el criterio de Descartes para dar el número de raíces positivas o negativas. Finalmente se concluye con el teorema de Sturm que permite localizar el número de raíces reales de un polinomio en un intervalo determinado de la recta numérica, luego se extiende este teorema para polinomios en C, que nos permite indicar el número de raíces complejas que se hallan en cada cuadrante del plano complejo.