Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de primer orden en modelos económicos.

Abstract

Las matemáticas desempeñan un papel importante en el desarrollo de las diferentes disciplinas es una herramienta necesaria y fundamental que actúa de forma precisa buscando sintetizar y explicar ciertos comportamientos; junto a las Matemáticas también la estadística es una ciencia que hoy se ha convertido en otro de los pilares o columnas que soportan una construcción teórica en muchas disciplinas. En la economía la matemática es fundamental su presencia sintetiza el análisis, el presente trabajo: las ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EN MODELOS ECONÓMICOS tiene como objetivo resaltar la utilidad de las matemáticas en la teoría económica, la economía es una ciencia tan amplia y compleja que trata de explicar y resolver problemas que el ser humano tiene, los gustos, las preferencias, la escasez, la abundancia, la redistribución de la riqueza, entre otros fenómenos económicos que más que cuantitativos son cualitativos que bajo ciertas condiciones y restricciones pueden ser ajustados y tratados bajo el sustento matemático. El uso de la matemática en la teoría económica no es en realidad una reciente aportación; si bien es cierto que en la economía política clásica del siglo XVIII y de los comienzos del siglo XIX, fue desarrollada sin el rigor matemático, los grandes maestros Adam Smith y David Ricardo, utilizaron ejemplos numéricos para ilustrar su teoría; ellos combinaron de manera esencialmente literaria, la observación de los hechos con el análisis deductivo de la relación causa y efecto para explicar el comportamiento del sistema económico dentro del cual les tocó vivir, así también en el trabajo de John Stuart Mill considerado el último de los economistas políticos clásicos, al igual que en los trabajos de Karl Marx, las fórmulas y diagramas matemáticos se utilizaron como un recurso expositivo o de apoyo taquigráfico; sus exposiciones utilizaron las matemáticas en forma superficial, cabe resaltar que siendo así, se convierte en una herramienta de necesidad. Más adelante cuando surgen las contribuciones de Cournot, Jevons, Menger, Walras, Gossen, Edgeworth, Marshall, Pareto, entre otros maestros, el uso de la matemática va tomando forma diferente, la aparición de la economía neoclásica impulsa la formalización y el lenguaje expositivo, la explicación se torna más matemática. Tanto los clásicos como los neoclásicos analizaron el consumo de la riqueza, pero el centro de interés se desplaza los economistas clásicos se interesaron por los cambios de producción y distribución de la riqueza a lo largo del tiempo particularmente pusieron énfasis en las tareas relativas del crecimiento poblacional y de los recursos materiales y examinaron sus consecuencias sobre el progreso económico y el bienestar de los individuos y de la sociedad. Los economistas Neoclásicos se preguntaron que dada una economía en cierta población que tiene determinadas preferencias, recursos y técnicas, como se puede maximizar la satisfacción de los consumidores. Se puede apreciar hoy que la transición de la economía política clásica a la neoclásica es el desplazamiento del análisis macroeconómico al análisis microeconómico. El comportamiento de los agentes individuales es el principio sobre la cual se construye la teoría microeconómica, es entonces que se pone de manifiesto la decisión individual, que conlleva a un problema de maximización, esto admite la necesidad de hacer cálculos, la matemática ingresa con un carácter formal, su presencia y contribución rompen la exposición literaria, ahora abren las puertas y sientan las bases para los que más tarde podría llamarse economía matemática. Pero surgen los oponentes, las críticas a este nuevo enfoque. Se sabe que hoy todavía existen pensamientos que basan sus críticas en que las matemáticas solamente pueden usarse en las áreas donde es factible medir numéricamente todas las variables, y donde las relaciones funcionales pueden ser especificadas analíticamente, por ejemplo dicen los críticos como saber numéricamente que un placer es mayor que otro, si es cierto que el placer de comer un ceviche es el placer de comer un arroz con pollo como 5 es a 2; claro que es complicado al estudiar las ciencias sociales y en particular la economía; los gustos y preferencias del ser humano, cada individuo es totalmente diferente a otro, es evidente que bajo este enfoque el análisis no se podría desarrollar; pero las matemáticas busca también hallar las relaciones entre magnitudes que no pueden expresarse numéricamente y entre funciones cuyas leyes no admiten una expresión algebraica. En estos últimos años la contribución de la matemática en la economía es notable, existen muchos trabajos que se han desarrollado con un rigor y profundidad matemática. * Cournot, uno de los padres de la economía matemática, en el prefacio de su libro RECHERCHES SUR LES PRINCIPES MATHEMATIQUES DE LA TEORÍA DES RICHESSES – 1838 dice: “He dicho que la mayoría de los autores dedicados a la economía política tuvieron una idea equivocada a cerca de la riqueza. Imaginaron que el uso de símbolos y fórmulas pueden conducir a la realización de cálculos numéricos y al percibir claramente que su objeto de estudio no era adecuado para tal determinación numérica valores solamente por medio de la teoría, llegaron a la conclusión de que si el aparato matemático no llega a ser responsable de la obtención de resultados equivocados, es por lo menos inútil y pedantesco. Pero quienes conocen y manejan bien el análisis matemático saben que su objetivo no es simplemente el de calcular números, sino también el de hallar relaciones entre magnitudes que no pueden expresarse numéricamente, y entre funciones cuyas leyes no admiten una expresión algebraica”.(1) Edgeworth, en su obra Mathematical Psychics – 1881 escribió : “No podemos contar las doradas arenas de la vida, no podemos numerar el innumerable encanto de los océanos de amor, pero podemos ser capaces de observar que hay aquí una mayor y allí una menor multitud de unidades de placer, o masa de felicidad, y ello es suficiente”.(2)

Walras en su obra Elements D´ Economie Politique Pure, 1974: “De donde resulta, a fin de cuentas, que la forma matemática es para la economía política pura no solamente una forma posible, sino la forma necesaria e indispensable. Pienso, además que los lectores que me hayan seguido hasta aquí no tendrán ninguna duda acerca de este punto”.(3) Marshall estudió y enseñó matemática con Cambridge antes de interesarse en la economía. Así, no puede haber duda de que tuvo un buen conocimiento de esta ciencia. Llegó a desconfiar de la economía matemática en razón de que, según su opinión, las variables con las que se tiene que trabajar en la vida real son tan numerosas e interrelacionadas que cualquier intento de expresarlas en lenguaje matemático convertirá al problema en algo extremadamente complicado; y si hacen las necesarias omisiones para que el problema sea manejable, se obtendrá una construcción alejada de la realidad. Este es en esencia, aun en nuestros días, el usual argumento contra la matemática.(4) Quiero dejar en claro que mi objetivo es presentar los modelos económicos como una herramienta necesaria para la toma de decisiones, siendo las ecuaciones diferenciales un instrumento de apoyo y presentando algunos modelos económicos simples.