La teoría de los P-grupos y los teoremas de Sylow

Abstract

En este trabajo se estudia los teoremas de Sylow y sus aplicaciones a la teoría de grupos finitos. En primer lugar, se expone las generalidades de la Teoría de Grupos y a continuación se desarrolla la teoría de p-grupos. Un p-grupo es un grupo en el cual el orden de cualquier elemento es una potencia de p, donde p es un primo. Una propiedad muy importante de los p-grupos es que tienen centros no triviales. Para la demostración de este hecho se utiliza la ecuación de clase: el orden de un grupo finito es igual al orden de su centro más la suma de los índices de los centralizadores de todos los elementos no centrales y no conjugados. Se llama p-subgrupo de Sylow de un grupo G a un p-subgrupo maximal de G. Una razón por la cual la teoría de los p-grupos es fundamental es que la estructura de los p-subgrupos de Sylow de un grupo finito G determina parcialmente la estructura de G. Como un ejemplo, citamos el siguiente teorema: Si G es un grupo finito cuyos p-subgrupos de Sylow son todos cíclicos, entonces G tiene un subgrupo normal N tal que G/N y N son cíclicos. En tercer lugar, se exponen los teoremas de Sylow. Estos teoremas son básicos para determinar la estructura de algunos grupos finitos. Según estos teoremas, para un primo dado p, todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados (y por lo tanto isomorfos); el número de estos subgrupos es congruente a 1 módulo p, y es un divisor de G. Un concepto clave que se utiliza en las demostraciones de estos teoremas, es el de normalizador de un subgrupo, el cual tiene la siguiente propiedad: El índice del normalizador N(H) en G es igual al número de conjugados del subgrupo H. Otro concepto clave es el de órbita de un grupo G: Si G es un grupo de permutaciones que actúa sobre un conjunto X, es decir, G es un subgrupo del grupo simétrico Sx, entonces X, y eX son G-equivalentes si existe s e G tal que s(x) = y. Las G-clases de equivalencia son llamadas las órbitas de G. El conjunto I (G) de todas las conjugaciones (o automorfismos internos) de G es un grupo de permutaciones sobre G. Las órbitas de I (G) son las clases de conjugación de G. Si G es un grupo de permutaciones que actúa sobre un conjunto X, entonces el estabilizador de xe X es un subgrupo de Hx de G formado por todos los te G tales que t (x) = x. Un hecho muy útil es el siguiente: Si X es un conjunto finito y G es un grupo de permutaciones sobre X, entonces la cardinalidad de cada órbita de G divide a [G]. Precisamente; la cardinalidad de la órbita de x es igual al índice del estabilizador de x en G.