Optimización estocástica para encontrar soluciones numéricas de la ecuación Fisher-KPP

Abstract

Este estudio desarrolla y evalúa un método numérico que integra diferencias finitas y Simulated Annealing para resolver la ecuación de Fisher-KPP, una ecuación diferencial que es fundamental en el modelado de procesos dinámicos en biología y otras ciencias. El método propuesto se enfoca en mejorar la precisión y eficacia de las soluciones numéricas mediante la optimización de la búsqueda de mínimos locales en un espacio de soluciones complejo. Se diseñó un esquema de diferencias finitas para la adecuada discretización espacial y transformación de la ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones de diferencia, facilitando la implementación numérica. Los experimentos numéricos realizados demostraron que el método alcanza una convergencia adecuada en más del 95 % de los casos evaluados, destacando su robustez y precisión. Sin embargo, la estabilidad y consistencia del método bajo diferentes configuraciones de parámetros y condiciones de contorno plantean desafíos que requieren investigaciones futuras. Este enfoque promete ampliar la aplicabilidad de técnicas numéricas avanzadas en el estudio de ecuaciones diferenciales complejas, potencialmente beneficiando una gama más amplia de aplicaciones científicas y técnicas.

This study develops and evaluates a numerical method integrating finite differences and Simulated Annealing to solve the Fisher-KPP equation, a differential equation fundamental in modeling dynamic processes in biology and other sciences. The proposed method focuses on enhancing the accuracy and efficacy of numerical solutions by optimizing the search for local minima in a complex solution space. A finite difference scheme was designed for proper spatial discretization and transformation of the differential equation into a system of difference equations, facilitating numerical implementation. Numerical experiments demonstrated that the method achieves adequate convergence in over 95 % of the cases evaluated, highlighting its robustness and precision. However, the stability and consistency of the method under different parameter settings and boundary conditions pose challenges that require furth research. This approach promises to expand the applicability of advanced numerical techniques in the study of complex differential equations, potentially benefiting a broader range of scientific and technical applications.