El teorema de Mordell y los subgrupos de torsión de una curva elíptica sobre el cuerpo gaussiano

Abstract

En el presente trabajo se ha estudiado las ecuaciones a las que llamaremos curvas elípticas, estas son de la forma y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6 con a1, a2, a3, a4, a6 2 K (cuerpo) y sin puntos singulares, ecuación que también recibe el nombre de ecuación de Weierstrass. Trabajando sobre un cuerpo de característica diferente de 2 y 3, dicha ecuación toma la forma reducida y2 = x3 + Ax + B con A,B 2 K. Definiendo la operación de adición de puntos de una curva elíptica, como la reflexión sobre el eje x del punto de intersección que se obtiene al trazar una recta sobre los dos puntos que deseamos adicionar, veremos que el conjunto de puntos (x, y) 2 K £ K que cumplan con la ecuación anterior y agregándole un punto que denotamos por O posee la estructura de grupo abeliano, la prueba de ello no es complicada de ver, a excepción posiblemente de la asociatividad a la que dedicaremos una sección completa en este trabajo. El espacio proyectivo bidimensional P2K juega un papel importante en el estudio de las curvas elípticas, debido a que existe una identificación entre los puntos del plano afín y los puntos finitos del espacio proyectivo. Se demuestra que el conjunto de puntos racionales de una curva elíptica E(Q), puede ser generada a partir de rectas tangentes y secantes trazadas desde un conjunto finito de puntos racionales (finitamente generado), esto es conocido como el teorema de Mordell-Weill. Esta prueba se deriva de dos resultados importantes como son probar que E(Q)/2E(Q) sea finito, donde tendremos en cuenta que el polinomio p(x) = x3 +Ax+B con A,B 2 Z puede ser descompuesto en Q ´o en una extensión finita de Q, a los que hemos denominado caso particular y caso general del teorema de Mordell-Weill respectivamente, el otro resultado tiene que ver con el método del descenso introducido por Fermat en 1640. El conjunto de puntos racionales puede ser descrito como E(Q) » = E(Q)tors ©Zr donde E(Q)tors es el subgrupo de torsión y Zr es la parte libre. Para determinar E(Q)tors se utiliza el teorema de Lutz-Nagell, que nos proporciona una lista finita de posibles puntos de torsión, esto será complicado cuando tenemos una lista grande. Felizmente Barry Mazur (1937) consiguió caracterizar todos los subgrupos de torsión de una curva elíptica definida sobre Q. Nuestro interés por determinar los subgrupos de torsión de una curva elíptica nos lleva a la siguiente pregunta ¿Es posible encontrar un algoritmo similar al de Lutz-Nagell para calcular los subgrupos de torsión de una curva elíptica definida sobre una extensión finita de Q?, esto es sobre Q(i), es más podrá ser posible encontrar una caracterización definitiva de E(Q(i))tors (subgrupo de torsión de una curva elíptico sobre el cuerpo gaussiano). La respuesta es sí. En la parte final de este trabajo nos hemos abocado a determinar el subgrupo de torsión de una curva elíptica sobre el cuerpo gaussiano, imitando el teorema de Lutz-Nagell para curvas elípticas definidas sobre Q, al que llamaremos el teorema de Lutz-Nagell sobre el cuerpo gaussiano, demostramos que si (x, y) 2 E(Q(i))tors entonces x, y 2 Z[i], además si y 6= 0 tenemos que y2 j 4A3 + 27B2 con A,B 2 Z[i]. La caracterización definitiva de E(Q(i))tors nos lo dará el teorema de Kenku-Momose el cuál afirma que el subgrupo de torsión de una curva elíptica sobre el cuerpo gaussiano es isomorfo a uno de los 26 grupos que mencionaremos en este trabajo. Por otro lado, notemos que si P 2 E(Q)tors entonces P 2 E(Q(i)) tors, por tal motivo podemos ver una curva definida sobre los racionales como si estuviese definida sobre el cuerpo gaussiano. Este estudio lo realizó años más tarde en el 2005, Yasutsugu Fujita (1965) y caracterizó al conjunto E(Q(i))tors para curvas definidas sobre los racionales como isomorfo a uno de los 20 grupos que detallaremos en la parte final.