El teorema de Siegel y el teorema de Brjuno, en dimensión uno

Abstract

Lo expuesto en este trabajo está dividido en cinco capítulos y un apéndice. En el capítulo primero exponemos las ideas básicas que sirven de apoyo a todo el resto del trabajo: series de números complejos, series de potencias formales; resultados relativos al análisis complejo en una variable. Se estudia también las aproximaciones a un número irracional a través de un tipo particular de sucesión de números racionales. En el capítulo segundo abordamos las ideas y conceptos básicos de la Dinámica Compleja Unidimensional. Abordamos el estudio de las condiciones bajo las cuales una función analítica con pate constante cero y parte lineal diferente de cero, es conjugado a su parte lineal. Este estudio deriva en dos casos: el primero corresponde a cuando la parte lineal está en la circunferencia unitaria centrada en el origen de coordenadas, y la segunda a cuando la parte lineal esta fuera de esta. El estudio del caso primero forma parte del capítulo segundo; más el caso segundo, por ser el preámbulo a los Teorema de Siegel y Brjuno, es tratado en el capítulo tres. En este capítulo se definen también la Condición de Siegel y la Condición de Brjuno, y se estudian las diversas conexiones que existen entre estas. Probamos, por ejemplo, la existencia de números irracionales que satisfacen la condición de Brjuno pero no la Condición de Siegel. El capítulo cuatro trata, en toda su extensión, sobre el Teorema de Siegel. La demostración del Teorema abarca conceptos de análisis en una variable compleja, muy en particular lo relacionado con la convergencia de sucesiones de funciones. Desarrollamos aquí la demostración del Teorema de Brjuno; y es aquí donde toma relevancia el estudio de las fracciones continúas expuestas en el primer capítulo. El apéndice contiene un resultado técnico relacionado con el capítulo cinco.