Representación (clásica) de las soluciones de la ecuación de Schrodinger

Abstract

En este trabajo se intenta dar alguna característica de la dinámica clásica a la dinámica cuántica no relativista. Como es sabida la dinámica cuántica no relativista está regida por la ecuación de Schrödinger. En este sistema de ecuaciones, la primera corresponde a la ecuación de conservación de la densidad de probabilidad cuántica escrita en términos de R(t.,x) y S(t, x); mientras que la segunda ecuación es propiamente la ecuación de Hamilton-Jacobi, pero con un término adicional de perturbación, y que convenientemente llamaremos ecuación de Hamilton- Jacobi-Perturbada. Aprovechando esta similitud, y utilizando herramienta del formalismo de Hamilton-Jacobi podemos representar “clásicamente” las soluciones de la ecuación de Schrödinger. A lo largo de este trabajo consideraremos a h como un parámetro, y las soluciones para los campos R(t,x) y S(t,x) serán determinada analíticamente. Aquí construiremos funciones de onda, las que dependerán del parámetro h, con la propiedad de anular el término de perturbación en la ecuación de Hamilton-Jacobi-Perturbada cuando se asigna el valor h = 0. De este modo se logra llevar “continuamente” las soluciones de la ecuación de Schrödinger a un caso clásico. La ecuación de Schrodinger determina la evolución del sistema físico a partir de la función de onda inicial. Para representar partículas usaremos, por conveniencia en el cálculo y como es usual en mecánica cuántica, funciones de onda inicial del tipo de paquetes gaussianos. Para obtener analíticamente la función de onda en cualquier instante a partir de función de onda inicial utilizaremos el método del propagador de Eeynman, también por conveniencia en el cálculo. Una vez obtenida la función de onda en cualquier instante despejaremos los campos R(t,,x) y S(t,x±. El campo R(t,x) está directamente relacionado con la densidad de probabilidad cuántica por medio de la expresión ||^(í,x)||2 - R2(t,x); de modo que este campo no agrega más información de la que brinda la propia función de onda. Sin embargo debemos mencionar que en este trabajo esta densidad de probabilidad cuántica será llevada “continuamente” al c^o cínico por medio del parámetro h. Para el campo S(t, x) analizaremos sus frentes de onda y construiremos trayectorias para partículas, de la misma manera como se procede con el campo So(t,x) solución de la ecuación de Mamilton-Jacobi. Así el campo 5(f,x) permite asociar trayectoria y frentes de onda al movimiento de la densidad de probabilidad cuántica, información que no brinda la presentación usual de la dinámica cuántica. También pasaremos de S(t,x) a So(t,x) “continuamente” por medio del parámetro h. Como ejemplo en donde desarrollaremos esta representación sugerida presentaremos los casos de la partícula libre, el oscilador armónico y el tiro de proyectil.