An algorithm of feasible directions to mixed nonlinear complementarity problems and applications

Abstract

This work investigates the Feasible Direction Algorithm using interior points applied to the Mixed Nonlinear Complementarity Problem and some applications. This algorithm is based in Feasible Directions Algorithm for Nonlinear Complementarity Problem, which is described briefly. The proposed algorithm is important because many mathematical models can be written as mixed nonlinear complementarity problem. The principal idea of this algorithm is to generate, at each iteration, a sequence of feasible directions with respect to the region, defined by the inequality conditions, which are also monotonic descent directions for one potential function. Then, an approximate line search along this direction is performed in order to define the next iteration. Global and asymptotic convergence properties for the algorithm are proved. In order to validade the robustness the algorithm is tested on several benchmark problems, that were found in the literature, considering the same para- meters. In this work one dimensional models describing Oxygen Diffusion inside one cell and In Situ Combustion are also presented together with bidimensional model of the Elastic-Plastic Torsion Problem. These models are re-written as nonlinear com¬plementarity problem and mixed nonlinear complementarity problem. These new formulations are discretized by Finite Diference Scheme or Finite Element Method and, for its discrete forms, the algorithm will be applied. The numerical results are compared with direct numerical simulation using Newton’s method (in the case of Oxygen Diffusion and In Situ Combustion) or exact solution (in the case of Elastic- Plastic Torsion Problem). It is shown that the obtained results are in good agreement with the asymptotic analysis. For the In situ combustion model the corresponding Riemann’s problem is studied in order to validate numerical solutions.

Este trabajo investiga el Algoritmo de Direcciones Factibles para Problemas de Complementaridad no Lineal Mixta y algunas aplicaciones. Este algoritmo está basado en el Algoritmo de Direcciones Factibles para Problemas de Complementaridad no Lineal, el cual es descrito brevemente. El algoritmo propuesto es importante porque muchos modelos matemáticos pueden ser escritos como problemas de complementaridad no lineal mixta. La idea principal de este algoritmo es generar, en cada iteración, una sucesión de direcciones factibles con respecto a la región, definida por las condiciones de desigualdades, los cuales son direcciones descendentes monótonas para una función potencial. Posteriormente, una búsqueda lineal a lo largo de esta dirección es realizada con el fin de obtener el nuevo punto e iniciar la siguiente iteración. Propiedades de convergencia global y asintótica son probados. Con el fin de validar la robustez del algoritmo, éste es testeado sobre varios problemas testes, que fueron encontrados en la literatura, considerando los mismos parámetros. Este trabajo también presenta modelos unidimensionales describiendo la Difusión de Oxígeno dentro de una célula y el proceso de Combustión In Situ junto con un modelo bidimensional del Problema de Torsión Elasto-Plástico. Estos modelos son reescritos como problemas de complementaridad no lineal y problema de complementaridad no lineal mixta. Estas nuevas formulaciones so discretizadas usando el Esquema de Diferencias Finitas o el Método de Elementos Finitos y, para sus formas discretas, el algoritmo será aplicado. Los resultados numéricos son comparados con simulación numérica directa usando el Método de Newton (en el caso de Difusión de Oxígeno y Combustión In Situ) o la solución exacta (en el caso del problema de Torsión Elasto-Plástico). Es mostrado que los resultados obtenidos concuerdan con el análisis asintótico. Para los modelos de Combustión In Situ el respectivo problema de Riemann es estudiado con el objetivo de validar nuestras soluciones numéricas.