Modelos matemáticos para la solución de los esfuerzos principales en las masas rocosas

Abstract

La mecánica de rocas estudia el efecto y la respuesta que producen las fuerzas, esfuerzos, deformaciones totales y deformaciones unitarias en las rocas y masas rocosas. La teoría de elasticidad, es un buen método para estudiar los esfuerzos, deformaciones y los desplazamientos de materiales y estructuras que están bajo la acción de fuerzas y cargas. La teoría supone que la relación entre esfuerzo y deformación unitaria es lineal. En un macizo rocoso hay cargas o esfuerzos debido a la gravedad, peso del material supra yacente y la restricción lateral ofrecida por la masa rocosa circundante. Dado un cuerpo o una estructura rocosa sometida a un sistema de fuerzas: No coplanares, no concurrentes y no paralelas; una sección cualquiera está sometida a esfuerzos. La fuerza por unidad de área o intensidad de las cargas distribuidas sobre la superficie de la sección transversal de un espécimen de roca se conoce como esfuerzo. Para los esfuerzos y deformaciones en las masas rocosas, se analiza el caso tridimensional (Sistema Triaxial) o en un punto o esfuerzo en el espacio; previo a ello es necesario analizar el estado plano de esfuerzos (Sistema Biaxial). En 1999 se inició la ejecución del trabajo de investigación “Modelos matemáticos para la solución de los esfuerzos principales en las masas rocosas”. Se formuló el problema de investigación ¿cómo se puede determinar los esfuerzos principales en forma óptima en el espacio en mecánica de rocas? Teniendo como objetivo general: Expresar los resultados de los esfuerzos principales actuantes en un punto de una masa rocosa en forma de un modelo matemático en mecánica de rocas. Para tal efecto se planteó como hipótesis de trabajo: “Los métodos numéricos pueden determinar la solución de los esfuerzos principales en el espacio en mecánica de rocas”.

Rock mechanics studies the effects and response that are generated by forces, stresses, absolute deformations and strains in rocks and rock masses. The theory of elasticity is a good method for studying the stress, strength and displacements of materials and structures caused by action of forces and loads. This theory supposes a relationship strain and deformation is linear. There are loads or stresses in a massive rock, originated by gravity, weight of the adjacent material and lateral constraint offered by surrounding rock mass. Given a body or a rock structure which is subjected to forces system, which is not coplanar, concurrent and parallel, i.e.; any section is subjected to a stress field. The force per unit area or intensity of forces that are distributed on rock specimen is defined as stress. For stress and strain the case is analyzed in three dimensions (Triaxial system) or a stress field in space; before this, it is necessary to analyze the plane state of stresses (Biaxial System). The stresses on a point or on a cube can be represented in three dimensions, a normal stress and two shearing stresses are impacting on each side of the cube. The stresses on each cube’s side that are purely normal are denominated principal stresses, and they are denoted as follows: σ1 = major principal stress, σ2= intermediate principal stress and σ3 = minor principal stress, so that the shearing stress is null, i.e., τ = 0 in the plane; and the other hand the relationship σ1> σ2> σ3 is fulfilled. The research work titled “Mathematical models for solving the principal stresses in rock masses” was started in 1999. The research problem was formulated: How can we determine the principal stresses in space in rock mechanics?. It is proposed a general objective in order to express the results of the performing principal stresses in a rock mass; it is a mathematical model in rock mechanics. For such reason the work hypothesis was established as follows: “the numerical methods can determine the solutions of the principal stresses in space in rock mechanics”. The determination of the principal stresses performing on cube’s sides are calculated from a stress tensor, which implies the formulation of a cubic equation: S3 - l1S2 + l2S – I3 =0, where Si,S2 and S3 are the principal stresses and l1, l2 and I3 are the stress invariants; the procedure of analysis and solutions is of domain of the MATHEMATICAL THEORY OF ELASTICITY. These equations are like f(x) =0; for the solution numerical methods of analysis are applied in order to determine a real root of the equation, then applying the polynomial division by Ruffini’s method we determine a quadratic equation, which has the form of f(x) =0, and then we solve the 2 real roots of the equation, and with this the hypothesis is proved. Finally an application of mathematical models to Cemento Andino’s quarry is done with the MATHEMATICA 4 software, which is designed for this goal.