Un indicador de complejidad en sistemas dinámicos

Abstract

Inicialmente, consideramos la noción de medida F-expansiva para flujos (donde F es un subconjunto del conjunto de reparametrizaciones H) generalizando la definida por Carrasco y Morales en [17]. A su vez, analizamos el comportamiento topológico del conjunto de medidas F-expansivas obteniendo condiciones suficientes para que este sea un conjunto Gδσ. Seguidamente, introducimos el concepto de punto F-sombreable para flujos y probamos que esta noción satisface propiedades que extienden las dadas en [30]. Además, mejoramos la clasificación topológica del conjunto de puntos sombreables, dada por Kawaguchi en [20], al probar que este es un sub-conjunto Gδ. También, probamos que el atractor geométrico de Lorenz, cuyo mapeo de retorno f satisfaga f(0) ≠ 0 ó f(1) ≠ 1, no admite puntos F-sombreables. Finalmente, definimos la noción de complejidad para flujos que actuará como un indicador de complejidad más fino que la entropía topológica, siempre que existan medidas positivamente F-expansivas (extendiendo los resultados de [29]). Este indicador depende tan solo del tiempo-uno del flujo, es invariante por conjugaciones y suspensiones. Adicionalmente, obtenemos un estimado de las ´orbitas periódicas de un sistema expansivo cuyos puntos F-sombreables contienen al conjunto no errante y admite complejidad.

Initially, we consider the notion of F-expansive measure for flows (where F is a subset of the set of reparametrizations H) generalizing the one defined by Carrasco and Morales in [17]. In addition, we analyze the topological behavior of the set of F-expansive measures obtaining sufficient conditions for these to be a Gδσ set. Next, we introduce the concept of F-shadowable point for flows and we prove that this notion satisfies properties that extend those given in [30]. Moreover, we improved the topological classification of the set of shadowable points, given by Kawaguchi in [20], by proving that this one is a Gδ set. Also, we proved that the geometric Lorenz attractor, whose return mapping f satisfies f(0) ≠ 0 o f(1) ≠ 1, does not have F-shadowable points. Finally, we define the notion of dynamical complexity for flows that will act as an indicator of complexity rather than the topological entropy whenever there are positive measures F-expansive (extending the result of [29]). This indicator depends only on the time-one of the flow, it is invariant by conjugations and suspensions. In addition, we obtain an estimate of the periodic orbits of an expansive system whose F-shadowable points contain the non-wandering set and admit complexity.