A study of dimensional and recurrence properties of invariant measures of full-shift and axiom a systems: generic behaviour

Abstract

En esta tesis, nos interesa caracterizar las propiedades dimensionales típicas (genéricas) de medidas invariantes asociadas al sistema de cambio completo (full-shift system), (X, T ), en un espacio producto cuyo alfabeto es no numerable. Se muestra que el conjunto de medidas invariantes que tienen dimensión de Hausdorff superior cero y dimensión de empaquetamiento inferior infinita es un subconjunto Gδ-denso de M(T ), el espacio de medidas T -invariantes dotadas con la topología débil. También se muestra que el conjunto de medidas invariantes con tasa de recurrencia superior igual a infinito e inferior igual a cero es un subconjunto Gδ-denso de M(T ). Además, se muestra que el conjunto de medidas invariantes con un indicador de tiempo de espera cuantitativo superior infinito e inferior cero es residual en M(T ). Para sistemas dinámicos topológicos con un conjunto denso de medidas periódicas, se muestra que una medida invariante típica tiene, para cada q>0, q-dimensión fractal generalizada inferior igual a cero. Esto implica, en particular, que una medida invariante típica tiene dimensión de Hausdorff superior y tasa de recurrencia inferior iguales a cero. De especial interés es el sistema de cambio completo (full-shift system), (X, T ), (donde X = M Z es dotado de una métrica sub-exponencial y M es un espacio métrico perfecto y compacto), para el cual se muestra que una medida invariante típica tiene, para cada q > 1, q-dimensión de correlación superior infinita. Bajo las mismas condiciones, una medida invariante típica tiene, para cada s ∈ (0, 1) y cada q>1, dimensión inferior s-generalizada igual a cero y dimensión superior q-generalizada infinita. Finalmente, para sistemas dinámicos que preservan medidas sobre espacios métricos, presentamos condiciones suficientes que involucran las dimensiones puntuales superior e inferior de la medida para obtener límites superiores e inferiores para sus dimensiones fractales generalizadas. También se obtiene una extensión del Teorema de Young que involucra las dimensiones fractales generalizadas de la medida de Bowen-Margulis de un sistema Axioma A. Además, para sistemas Axioma A, se muestra que una medida invariante típica tiene dimensión de correlación cero, bajo una métrica hiperbólica.

In this thesis, we are interested in characterizing typical (generic) dimensional properties of invariant measures associated with the full-shift system, T, in a product space whose alphabet is uncountable. More specifically, we show that the set of invariant measures with upper Hausdorff dimension equal to zero and lower packing dimension equal to infinity is a dense Gδ subset of M (T), the space of T-invariant measures endowed with the weak topology. We also show that the set of invariant measures with upper rate of recurrence equal to infinity and lower rate of recurrence equal to zero is a dense Gδ subset of M (T). Furthermore, we show that the set of invariant measures with upper quantitative waiting time indicator equal to infinity and lower quantitative waiting time indicator equal to zero is also residual in M (T). For topological dynamical systems with a dense set (in the weak topology) of periodic measures, we show that a typical invariant measure has, for each q > 0, zero lower q- generalized fractal dimension. This implies, in particular, that a typical invariant measure has zero upper Hausdorff dimension and zero lower rate of recurrence. Of special interest is the full-shift system (X, T) (where X = M Z is endowed with a sub-exponential metric and the alphabet M is a perfect and compact metric space), for which we show that a typical invariant measure has, for each q > 1, infinite upper q-correlation dimension. Under the same conditions, we show that a typical invariant measure has, for each s ∈ (0, 1) and each q > 1, zero lower s-generalized and infinite upper q-generalized dimensions. Finally, for measure preserving dynamical systems on metric spaces, we present sufficient conditions involving the upper and lower pointwise dimensions of the measure in order to obtain upper and lower bounds for its generalized fractal dimensions. We also obtain an extension of Young’s Theorem [59] involving the generalized fractal dimensions of the Bowen-Margulis measure of an Axiom A system. Furthermore, for Axiom A systems, we show that the set of invariant measures with zero correlation dimension, under a hyperbolic metric, is generic.