Distancia y estabilidad de Gromov-Hausdorff para flujos

Abstract

En la primera parte del presente trabajo mostramos que un teorema análogo al teorema 2 de [14] vale para el caso de acciones de los números reales no negativos sobre un espacio métrico compacto. Esto es, la existencia de puntos no transitivos asociados a un semiflujo, implica la densidad de estos. Mostraremos también que este conjunto de puntos no transitivos es un Fσ-conjunto. Además, construiremos una acción de un semigrupo sobre un espacio métrico compacto, tal que el conjunto de puntos no transitivos asociado es no vacío, pero no es denso. En la segunda parte, definiremos el concepto de GH-estabilidad topológica para flujos, basándonos en el concepto análogo para homeomorfismos dado en [3], y en el concepto de estabilidad topológica para flujos dado en [1]. En [3], Arbieto y Morales definen la noción de GH-estabilidad topológica para homeomorfismos y demuestran que expansividad más la propiedad de sombreamiento da lugar a la GH-estabilidad topológica para homeomorfismos. En [1], Romeo Thomas menciona una definición de estabilidad topológica para flujos y muestra que un flujo expansivo con la propiedad de sombreamiento y sin singularidades es topológicamente estable. Así, motivados por el camino seguido en [3] y basándonos en [1], definimos la noción de GH-estabilidad topológica para flujos y probamos que un flujo expansivo sobre un espacio métrico compacto, con la propiedad de sombreamiento, y sin singularidades es topológicamente GH-estable.

In the first part of this work, we prove that an analogous result to Theorem 2 of [14] still work for cases of actions of non-negative real numbers on a compact metric space. Indeed, the existence of non-transitive points of a semi-flow implies the density of them. Moreover, we will also construct an action of a semigroup on a compact metric space, such that the associated set of non-transitive points is non-empty, but not dense. In the second part, we introduce the notion of topological GH-stability for flow, based on the analogous concept about homeomorphism given in [3], and on the notion about topological stability for flows given in [1]. In [3], Arbieto and Morales define the notion of topological GH-stability for homeomorphisms and they prove that every expansive homeomorphism with the pseudo-orbit tracing property on a compact metric space is topologically GH-stable. In [1], Romeo Thomas mentions a definition of topological stability for flows and he proves that an expansive flow with the shadowing property and without singularities is topologically stable. In this way, we had been motivated to follow the path in [3] and also had been based on [1], we define the topological GH-stability for flows and we prove that an expansive flow on a compact metric space, with the shadowing property, and without singularities is topologically GH-stable.