Fenómenos No-Lineales: la ecuación KdV y el método inverso a la dispersión

Abstract

En los últimos 25 años ha habido un considerable avance en la comprensión de los fenómenos no-lineales en Física. Expliquemos porqué el nombre de no-lineal. El hombre siempre ha tratado de dar una explicación a los fenómenos que ocurren a su alrededor (la caída de los cuerpos (Newton), radiación de cuerpo negro, (Planck, etc.). Ocurre que, al elaborar sus modelos que ofrezcan una explicación a los fenómenos observados, los físicos arriban a veces a una ec. diferencial lineal luego de efectuar algunas simplificaciones. En algunos cursos tales simplificaciones resultan acertadas en el sentido de que el modelo logra describir el fenómeno con aceptable aproximación. Para el estudio de estos problemas lineales se han desarrollado herramientas adecuadas: espacios vectoriales, series de Fourier, teoría de perturbación, etc. Pero hay casos en que el modelo conduce a una ecuación diferencial no-lineal y una simplificación adicional, conducente a linealizar la ecuación, la aparta de la descripción esencial del problema; en tales casos no hay otra alternativa que resol verla directamente. Pero para tal tarea no se tenían, hasta hace pocos años, las herramientas adecuadas. Esto nos puede dar una pauta de cómo el desarrollo de la física tiene un limitante en el lenguaje matemático del que dispone para elaborar sus modelos. Con el advenimiento de la computadora los problemas no- lineales han podido ser abordados con mayor facilidad; con ella se ha logrado obtener soluciones numéricas, lo cual ha permitido idear métodos analíticos. tino de ellos hace uso del Método Inverso a la Dispersión (M.I.D.) y es el que damos a conocer en una parte de nuestro trabajo. El desarrollo de nuestro tema lo realizamos en base al querer resolver la ecuación de Korteweg de Vries: ut – 6uux + uxxx = 0. Ella aparece en hidrodinámica (ondas de agua en un canal poco profundo), propagación de ondas en un cristal anarmónico, colisión de ondas en plasma. En el presente trabajo podemos identificar tres partes: En la primera se ofrece la base analítica del M.I.D. Este constituye en sí todo un tema de estudio y para no desviar la atención de nuestro trabajo de la línea de estudio de fenómenos no-lineales, es que dedicamos el Capítulo 1 a presentar todos los resultados referentes a cómo funciona tal método y las justificaciones correspondientes las presentamos en los complementos A, B, C y D. La segunda parte está dedicada a idear un esquema de solución de problemas no lineales que permita ensamblar en él al M.I.D. En el Capítulo 2 se construye tal esquema, uno de cuyos pasos principales consiste en asociar a cada problema no - lineal una adecuada familia dé operadores lineales. Tal asociación es construida para tres ecuaciones no lineales. Ec. de KdV ut - 6uu. - 6uux + uxxx = 0 Ec. modificada de KdV ut +- 6u2ux + uxxx = 0 Ec. de Schrodinger no lineal uxx + 2|u|2 u + iut = 0 En el capítulo 4 verificamos la aplicabilidad del esquema mencionado para resolver la ec. de KdV. Finalmente, la tercera parte está dedicada a ofrecer una visión general de los hechos más importantes que han marcado el desarrollo en la comprensión de los fenómenos no-lineales. Esto lo presentamos en el Capítulo 3. En lo posible hemos tratado de complementar cada información con la cita bibliográfica correspondiente. Mi agradecimiento a nuestro Profesor Holger Valqui. Su constancia en el trabajo ha sido buen ejemplo para ser perseverante en el estudio del presente tema que, inicialmente, me resultaba completamente nuevo. Siempre estuvo solícito en las consultas, aún en las horas de su merecido descanso. La motivación diaria que de él recibí permitió realizar este trabajo con el mayor de los gustos, con una alegría de estudiante. Hago extensivo mi reconocimiento, también, a la Srta. Zoila Vásquez por el mecanografiado de la. presente tesis. Acompañando a su amabilidad cuenta con la cualidad de ser comprensiva con las continuas exigencias que un estudiante por graduarse hace para con su trabajo. A los amigos que contribuyen- a formar un ambiente de estudio en la Facultad de Ciencias de la UNI, de ellos recibí siempre el aliento y exigencia por avanzar en el estudio del presente tema.