Teoría y aplicación del método directo de A. M. Liapunov

Abstract

Académicamente puede hacerse la distinción entre "control clásico" y "control moderno". El primero se caracteriza principalmente porque su sistema de control puede ser representado bajo un modelo lineal; por tanto, puede ser descrita, para fines de diseño, en términos de la función de transferencia, la cual se halla haciendo uso de la Transformada de Laplace. Por consiguiente, el sistema clásico acepta técnicas de análisis tanto en el dominio del tiempo como en el dominio del plano- s complejo. La teoría moderna, trata el problema del control más profundamente, es decir, define los conceptos fundamentales del control y estudia la controlabilidad del sistema, para citar dos casos. También integra los conceptos modernos con las técnicas clásicas, y, sobre todo, su aplicación es efectiva y práctica, pues usa técnicas computacionales digital, analógica e híbrida las cuales pueden ser aplicadas también a modelos no lineales. En el diseño de los sistemas de control se presentan básicamente los problemas de rapidez, exactitud y estabilidad, los cuales tienen que ser resueltos de tal forma que entre los tres exista compatibilidad. El problema de la determinación de la estabilidad de los sistemas ha sido tratado por muchos autores los cuales han establecido técnicas de análisis de estabilidad tanto para los sistemas lineales o no. Una de las técnicas de análisis para la determinación de la estabilidad de los sistemas de control lineales o no, que ha encontrado gran acogida en estos últimos tiempos es el Método Directo de Liapunov, la cual se basa en la moderna teoría de la estabilidad del movimiento fundada por A. M. Liapunov en 1892. Fundamentalmente, el método resuelve la "ecuación de estado" del sistema, o encuentra las soluciones de dicha ecuación de estado, sin resolverlas. Sin embargo, el análisis para ciertos casos, encierra serias dificultades las cuales no han sido resueltas hasta hoy en día y son materia de investigación. El propósito de este trabajo, se centra básicamente en tres puntos principales: a. Presentar los conceptos básicos y fundamentales de la teoría de estabilidad de Liapunov, en una forma simple para que su compresión no represente problema alguno. b. Dejar sentada la idea del Método Directo en la solución de determinados casos a partir de la ecuación de estado, principalmente en lo que se refiere a su aplicación en los controles. c. Que la presentación de es te modesto trabajo, sirve como un elemento más de incentivación para trabajos posteriores sobre el tema, y principalmente, en lo que se refiere a aplicaciones del método a problemas concretos y prácticos. Para tal fin, será bastante útil la referencia bibliográfica que presento al final.