Movimiento de un satélite alrededor de un planeta achatado

Abstract

El objetivo de este presente trabajo es determinar y analizar el potencial gravitatorio debido a una masa gravitatoria distribuida uniformemente en un elipsoide de revolución. Aplicaremos la expansión multipolar para determinar el potencial gravitacional para el planeta y así obtendremos una expresión para la fuerza gravitacional. Luego aplicar este potencial en dos problemas reales, por ejemplo el movimiento de satélites naturales alrededor del planeta Saturno (que es achatado por los polos) y el movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra. Para determinar la trayectoria de los satélites se hallaran las ecuaciones diferenciales de movimiento usando el potencial gravitatorio (a veces considerando la aceleración de Coriolis y la aceleración centrípeta) para luego resolver numéricamente estas ecuaciones diferenciales de movimiento (ya que son acopladas y no lineales). Otro objetivo de esta tesis es determinar la existencia de otros parámetros de la trayectoria (para ciertas simulaciones), por ejemplo la altura máxima y mínima, para conseguir este objetivo consideraremos un modelo mecánico sencillo que represente al sistema de cuerpos celestes formado por dos cuerpos (el planeta y un satélite). En este modelo se considera al planeta como un cuerpo homogéneo, rígido de forma elipsoidal de revolución y a un satélite que realiza una trayectoria alrededor del planeta como una partícula. Además mencionamos que el planeta está fijo en el origen de coordenadas de un sistema de referencia inercial. Esta tesis se ha dividido en 5 capítulos; a continuación mencionaremos brevemente un resumen de cada capítulo. En el capítulo I se estudia la Expansión multipolar de un potencial gravitatorio del cuerpo elipsoidal, obteniendo la expansión del potencial hasta el 5o término no nulo, y así poder obtener la fuerza que actúa sobre un satélite tomando el gradiente del potencial. Luego hallaremos la ecuación de movimiento del satélite con la 2da Ley de Newton. En el capítulo II se aplica el potencial obtenido en el capítulo I al planeta Saturno porque, este planeta presenta un mayor achatamiento en nuestro sistema planetario solar. Analizaremos los movimientos de los satélites Atlas y Mimas por esta razón su energía potencial ya no es Kepleriano. En el capítulo III se aplica al movimiento de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra. Este análisis es importante, por las aplicaciones diversas de los satélites artificiales en la Tierra. Un cálculo importante es determinar la altura en función del tiempo, después de resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales. Continuando, se presenta un sub-capítulo, que relaciona el efecto lunar al movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra. Donde se resuelve la ecuación de movimiento en forma numérica, considerando la influencia gravitacional de la Luna. En el capítulo IV se estudia la estabilidad de las trayectorias seguidas por los satélites Atlas y Mimas. Mediante la linealización de Lyapunov, analizando el potencial efectivo bidimensional y tridimensional y el capítulo V denominado Conclusiones. Además se muestra el final del trabajo varios apéndices en las cuales su desarrollo complementa los criterios que asumiremos en cada capítulo. En el apéndice A se obtiene los términos de la expansión multipolar, la demostración de los términos de la expansión multipolar impares son nulos y la conservación del momento angular. Luego en el apéndice B se obtiene la integral de movimiento de un partícula, en el apéndice C se muestra los programas realizados en Matlab, que resuelven las ecuaciones de movimiento de los satélites, en el apéndice D se muestra el método de Gibbs, que a partir de tres posiciones consecutivas de la trayectoria de un satélite, se puede encontrar la velocidad del satélite de la posición intermedia y a partir de esta posición intermedia y su velocidad encontrada considerar como condición inicial de un satélite y finalmente en el apéndice E se muestran gráficos adicionales relacionados al movimiento del satélite Mimas alrededor de Saturno y un satélite artificial alrededor de la Tierra. .