Movimiento de espiras planas en campos magnéticos homogéneos

Abstract

El estudio del movimiento de cargas en campos eléctricos y magnéticos es de funda­ mental importancia en diferentes áreas de la Ciencia y la Técnica: el movimiento de los electrones en los tubos de rayos catódicos, los selectores de velocidad, el espectrógrafo de masas, e incluso los aceleradores de partículas. Este estudio puede abordarse de dos formas: análisis del movimiento de cargas individuales (electrones, iones, etc.) o movimiento de distribuciones de carga (espiras por ejemplo). Ambos estudios parten de las mismas leyes fundamentales (ley de fuerza de Lorentz), aunque revisten características peculiares. Por ejemplo, para la descripción del movimiento de una carga puntual se necesitan tres grados de libertad, que representan las tres coordenadas de la partícula vista desde un sistema de referencia. Por su parte, cuando se trata con distribuciones de corriente (restringiéndonos al caso de distribuciones localizadas de corriente), la descripción completa de la misma requiere más de tres grados de libertad, debido a que se necesita especificar también la orientación (y no sólo la posición) de la distribución para cada instante de tiempo. Por esta razón se usarán los tres ángulos de Euler para definir el estado mecánico del cuerpo.

Un ejemplo elemental de distribución de corriente es de las espiras. En este caso se trata claramente de una corriente distribuida a lo largo de una curva cerrada. En este trabajo estableceremos las principales características del movimiento de este tipo de distribuciones de corriente debido a su interacción con campos magnéticos uniformes solamente, obvian­ do cualquier otros tipo de interacción, la gravitatoria por ejemplo. Centraremos nuestro trabajo en las espiras planas, y particularmente en dos tipos: espiras en forma de circunferencia (espira circular) y en forma de elipse (espira elíptica). Desarrollamos ambos casos con un objetivo comparativo; veremos que en la espira circular tenemos suficientes constantes de movimiento como para hacer posible una integración completa del sistema, en términos de funciones integrales (cuadraturas). Al pasar al caso de la espira elíptica notaremos la ausencia de una integral de movimiento (resultado de la pérdida de simetría circular), lo cual no permite una integración completa del sistema como fue el caso de la espira circular. En ambos casos, tanto el circular como el elíptico, las ecuaciones de movimiento pueden ser obtenidas hasta de tres maneras. La primera es considerar las ecuaciones de Euler para el cuerpo rígido constituido por la espira, bajo la acción del torque de la fuerza magnética. Esto nos da ecuaciones para las componentes de la velocidad angular, las mismas que una vez resueltas dan lugar a expresiones para los ángulos de Euler y sus respectivas derivadas. El segundo planteamiento es usar las ecuaciones de Euler-Lagrange utilizando los ángulos de Euler como coordenadas generalizadas. Sin embargo, en este trabajo hemos usado el formalismo de Hamilton, fundamentalmente porque queremos estudiar algunas características del espacio de fases del sistema; particularmente queremos estudiar algunos signos de caos en la espira elíptica mediante la estimación de los exponentes de Lyapunov de la misma. Una aplicación de esta tesis es analizar el movimiento de satélites artificiales, considerándolos como cuerpos rígidos. En particular podemos estudiar el problema de estabilizar la orientación del satélite respecto de los rayos solares. Esto es así porque un satélite posee circuitos eléctricos internos que interactúan con el campo magnético de la tierra, comportándose como una espira (dipolo magnético). El campo magnético de la tierra puede considerarse, con buena aproximación, uniforme al menos dentro de los límites establecidos por las dimensiones del satélite.