Grupos Abelianos

Abstract

En este informe se trata de describir la estructura de los grupos abelianos libres, los grupos abelianos finitamente generados y los grupos divisibles. Una clasificación elemental es la siguiente:

Grupos de Torsión (si todos sus elementos son de orden finito), grupos sin torsión (si el único elemento de orden finito es el cero) y grupos mixtos (si tiene elementos no nulos de orden finito y elementos de orden infinito). Si todos los elementos de un grupo abeliano G son de orden pk, donde p es un primo fijo y k es un entero no negativo, entonces se dice que G es un grupo ^primario.

El teorema de estructura de los grupos de torsión establece que todo grupo de torsión es una suma directa de grupos primarios. Los grupos abelianos libres son las sumas directas de grupos isomorfos al grupo cíclico Z.

Un resultado importante es el siguiente:

Todo grupo abeliano es cociente de un grupo abeliano libre. El teorema fundamental de los grupos abelianos establece que todo grupo abeliano finitamente generado es una suma directa finita de grupos cíclicos infinitos y/o grupos cíclicos primarios. Dos consecuencias inmediatas de este teorema son las siguientes:

(a) Todo grupo abeliano finito es una suma directa de grupos cíclicos primarios. (b) Los grupos abelianos finitamente generados sin torsión son los grupos abelianos libres finitamente generados.

El teorema de estructura de los grupos divisibles establece que todo grupo divisible es una suma directa de grupos p-Prüfer y/o grupos isomorfos a Q (los grupos p-Prüfer son las p-componentes de Q/Z). De aquí se deduce que los grupos divisibles de torsión son las suams directas de grupos p-Prüfer; y los grupos divisibles sin torsión (como R y C, por ejemplo) son sumas directas de grupos isomorfos a Q.