Métodos de Rayleigh-Ritz y Galerkin para resolver el problema de Sturm-Liouville con malla uniforme y no uniforme

Abstract

En este trabajo presentamos un estudio numérico del problema de valor en la frontera con condiciones de tipo Dirichlet asociado a la Ecuación Diferencial Ordinaria(EDO) de tipo Sturm-Liouville. Los objetivos de esta investigación son el estudio del problema de Sturm- Liouville. las condiciones de existencia y unicidad, la resolución numérica y la implementación de un software para resolver computacionalmente este problema. Para esto hemos considerado el enfoque de los Métodos Variacionales de Rayleigh-Ritz y Galerkin (como base para el estudio de Métodos de Elementos Finitos) apoyándonos en teoremas del enfoque variacional que garanticen la existencia y unicidad de la aproximación. Asimismo, incluimos e implementamos algoritmos para resolver el PVF con una malla uniforme y no uniforme. Finalmente, proporcionamos varios resultados numéricos que nos per¬miten ilustrar la buena performance del método ya que al evaluar el error cometido tomando como funciones base a polinomios segmentarios lineales y los B-splines se observa que los resultados alcanzados se comportan eficientemente.

We present a numerical study from boundary value problem with Dirichlet conditions associated with the Ordinary Differential Equation (ODE) of type Sturm - Liouville. The objectives of this research is the study of Sturm-Liouville problem, the conditions of existence and uniqueness, the numerical solution and the implementation of a computational software to solve this problem. For that we have considered the approach of the variational method Ravleigh-Ritz Galerkin (as the basis for the study of Finite Element Methods) supported theorems of variational approach to ensure the existence and uniqueness of the approach. We also include and implement algorithms to solve the PVF with uniform and nommiform mesh. Finally, we provide several numerical results that allow us to illustrate the good performance of the method and that in assessing the error using as basis functions linear segmental polynomial and the B-splines can be seen that the results achieved behave efficiently.