Clasificación de foliaciones elípticas inducidas por campos cuadráticos con centro

Abstract

Las ecuaciones diferenciales ordinarias surgen juntamente con la aparición del cálculo, en la célebre polémica de Newton y Leibniz, a finales del siglo XVII. Doscientos años después, Van der Pool y Appleton obtuvieron ecuaciones diferenciales relacionadas con los circuitos eléctricos. La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales nació´ de los trabajos de Poincare´ y Liapunov a finales del siglo XIX y en los inicios del siglo XX. En el problema infinitesimal de Hilbert, se observa que bajo pequeñas perturbaciones de un campo se puede obtener ciclos límites en el campo perturbado. Este problema esta´ relacionado con la existencia de ciclos límites, por ello, es importante saber cuándo un campo posee un centro, el cual es llamado el problema del centro. Este problema fue´ resuelto por Poincare´ para campos polinomiales. Posteriormente Liapunov generalizó´ este resultado para campos vectoriales analíticos. Por el teorema de clasificación de campos vectoriales polinomiales reales con centro, tenemos que todo campo polinomial con una singularidad no degenerada con centro posee una integral primera de cuatro tipos: reversible, Lotka-Volterra, codimensi´on cuatro y hamiltoniano. Debido a que todo campo polinomial real induce un campo polinomial complejo, podemos inducir una foliación compleja en el espacio proyectivo complejo de dimensión dos. Se prueba que tales foliaciones inducidas poseen una integral primera racional, cuyas curvas de nivel son curvas algebraicas complejas. En el presente trabajo, reproducimos los resultados obtenidos por Gautier [1] para el caso Lotka-Volterra, usando la de teoría de foliaciones holomorfas. Además, debido a un error sutil en la prueba original de Gautier, presentamos nuevos ejemplos de foliaciones elípticas para este caso. Por otro lado, probamos que en los casos hamiltoniano y codimensión cuatro, las curvas de nivel siempre son de género uno. En el caso reversible, vía mapeos birracionales, las curvas de nivel son dadas por curvas hiperelípticas. En este caso, es fácil calcular el género de las curvas, puesto que el género es invariante vía mapeos birracionales