Principio variacional de Ekeland y aplicaciones

Abstract

Desde su publicación en 1972, el Principio Variacional de Ekeland, ha sido utilizado en múltiples aplicaciones en Optimización, Ecuaciones Diferenciales, Geometría Diferencial, Teoría de Control, entre otras. Además de proporcionar demostraciones elegantes de muchos resultados ya conocidos. El Teorema de Weiertrass es de sobra conocido, que establece la existencia de máximos y mínimos para funciones continuas sobre espacios métricos compactos, pero si se está interesado sólo en problemas de minimización, no es necesario suponer que / sea continua, bastará con una noción más débil. Surge el concepto de función semicontinua inferiormente. Entonces, en cierto modo lo que se va hacer a lo largo de este trabajo es estudiar cómo es que se debilitan dichas hipótesis para resolver el problema de existencia de mínimos de funciones, lo cual tiene su punto de partida en el principio ya indicado. En el Capítulo 1 se establecen los conceptos teóricos y definiciones que se utilizarán posteriormente. Principalmente se revisará el concepto de función semicontinua inferiormente en espacios métricos, así también el concepto de función localmente Lipschitziana, el gradiente generalizado de una función en un punto determinado y el cono normal a un conjunto, todo esto sobre espacios de Banach. En el Capítulo 2 se presenta el famoso Principio Variacional de Ekeland en sus versiones fuerte y débil, tema central del presente trabajo. Así mismo se ve la aplicación directa de la versión débil a la Teoría de Punto Fijo y a la existencia de mínimos para funciones Gáteaux diferenciables, y se obtendrán algunos resultados para funciones que además satisfacen la condición de Palais-Smale. Finalmente, en el Capítulo 3 se dan aplicaciones de la versión fuerte del principio, una dirigida a la Teoría de Optimización, y otra aplicada al Cálculo Generalizado, donde se establece el concepto de gradiente generalizado para funciones localmente Lipschitziana, así como una versión n dimensional del Teorema del Valor Medio.