Sobre las bases de Gröbner, los sistemas de ecuaciones polinomiales y los polinomios simétricos

Abstract

La presente tesis tiene como objetivo exponer la teor´ıa de las Bases de Gr¨obner en el anillo de polinomios k[x1, . . . , xn] sobre un campo k, as´ı como sus aplicaciones en la soluci´on de sistemas de ecuaciones polinomiales no-lineales y los polinomios sim´etri- cos. Las Bases de Gr¨obner pueden ser vistas como una generalizaci´on multi-variable del algoritmo euclidiano para calcular el m´aximo comu´n divisor de un conjunto de polinomios y el m´etodo de eliminaci´on Gaussiana para resolver sistemas lineales. La teor´ıa que expondremos a continuaci´on es central en el estudio de muchos algoritmos en geometr´ıa algebraica y a´lgebra conmutativa, siendo el algoritmo de Buchberger de fundamental importancia en estas implementaciones.

This thesis is about Gr¨obner Basis for ideals in the ring of polynomials k[x1, . . . , xn] over a field k, its use in solving systems of polynomial equations and representing symmetric polynomials. A Gr¨obner basis is a set of multivariate polynomials enjoying certain properties that allow simple algorithmic solutions for many fundamental problems in mathematics and natural and technical sciences with Buchberger’s Algorithm being fundamental on this implementations.