Bases de Gröbner con aplicaciones al álgebra conmutativa

Abstract

En esta tesis son discutidas algunas principales ideas que envuelven métodos computacionales algebraicos. La importancia de tales métodos está en la posibilidad de atacar temas clásicos del algebra conmutativa y geometría algebraica de una manera algorítmica, simplificando cálculos de manera efectiva. Nuestro entorno de trabajo sería el anillo de polinomios, los ideales y variedades afines que se originen en él. Mostraremos una manera de ordenar los monomios que denominaremos orden monomial, también se daría un algoritmo para dividir polinomios. Obteniendo con ello que todo ideal en el anillo de polinomios es finitamente generado. La definición fundamental de este trabajo es la base de Gróbner para un ideal. También se mostrara los teoremas de los ceros de Hilbert, los cuales se probaran con los elementos dichos. Con todo ello resolveremos el problema de conocer si un polinomio dado pertenece o no a un ideal: bastara dividir dicho polinomio entre la base de Gróbner del ideal y si el resto es nulo entonces si pertenece, en caso contrario no está en é. También dado un sistema de ecuaciones polinomiales, se determinaría si dicho sistema es consistente o no lo es: para ello bastara formar un ideal con los polinomios componentes del sistema y determinar si origina todo el anillo o no, en el primer caso nos indicaría que el sistema es incompatible, es decir no tiene solución. Si un sistema de ecuaciones polinomiales es compatible, es decir su conjunto solución es no vacío, se resolvería el problema de determinar si dicho conjunto solución es finito o no lo es. También se resolvería sistemas de ecuaciones polinomiales sobre un campo algebraicamente cerrado. Cuando se posee dos ideales podemos originar uno nuevo mediante la intersección, en este trabajo se determinara la intersección de dos ideales mediante su conjunto generador. También cuando tenemos un ideal podemos originar el radical de dicho ideal. Como una de las aplicaciones mediante las bases de Gróbner se determinaría cuándo un polinomio pertenece a dicho radical del ideal. Por último, dado dos ideales en el anillo de polinomios, podemos originar el cociente de dichos ideales. Nuestro último objetivo es determinar dicho cociente mediante el cálculo de su generador.