Esquemas de Hilbert y polinomios de Macdonald, teorema del polígrafo

Abstract

En [15], Haiman estudia el esquema de Hilbert isospcctral Xn, definido como el producto fibrado reducido de (C2)n con el esquema de Hilbert Hn de puntos en el plano C2, sobre la potencia simétrica 5nCn = (C2)n/5n. Por un Teorema de Fogarty, //n es regular. Haiman prueba que Xn es normal, Cohen-Macaulay, v Gorenstein, y así plano sobre //„, de donde se deriva la demostración de la conjetura n! de Garsia y Haiman atravez de una interpretación de teoría de representación de los coeficientes de Kostka-Macdonald K\,,((í, t), el cual también establece la conjetura de positividad de Macdonald, es decir que t) € 1%, í]. Las pruebas dependen sobre el estudio de un arreglo de subespacios Z(n,l) C (C2)"+í llamado polígrafo, el cuyo anillo de coordenadas R{n,l) porta información geométrica de Xn. El resultado importante, que es mostrado en esta tesis, es que R(n,() es un módulo libre sobre el anillo de polinomios en un conjunto de coordenadas sobre (C2)n. La prueba de este hecho es mostrado atravez de un delicado proceso inductivo basado, sin embargo, sobre álgebra commutativa elemental.