Introducción a la teoría de anillos conmutativos

Abstract

La historia del álgebra conmutativa empieza en el siglo IX con trabajos en la teoría de números y la geometría algebraica. En la teoría de números se estudia esencialmente el anillo de los números enteros Z, como son los números primos, factorización, divisibilidad, congruencias, etc. Mientras que en la geometría algebraica se estudia el algebra que son los anillos de polinomios en varias variables y la geometría que es el conjunto de ceros de una familia de polinomios. Por ejemplo, el círculo unitario son los ceros del polinomio x2+y2 -1. Los anillos conmutativos son conjuntos dotados con dos operaciones binarias V y cumpliendo las leyes asociativas, conmutativas y distributivas. Como ejemplos importantes tenemos el anillo de números enteros Z y el anillo de polinomios donde Fes un campo. Así pues, el algebra conmutativa es esencialmente el estudio de los anillos conmutativos. En la teoría de anillos conmutativos podemos establecer como consecuencia de las definiciones de anillos, un objeto fundamental, que son los ideales, estos son, los subgrupos aditivos que son invariantes bajo la multiplicación por cualquier elemento arbitrario del anillo. Podemos distinguir también ciertas clases de ideales: ideales primos, ideales primarios, ideales maximales, etc. Los ideales pueden ser sumados, multiplicados e interceptados, lo que nos da una nueva clase de estructura combinatoria del conjunto de ideales en un anillo; En particular los ideales primos juegan un rol importante en este conjunto de ideales. El término “ideal” viene de la palabra “número ideal”, esto debido a Kummer; Los ideales fueron reconocidos como una generalización del concepto de número. En el anillo de los enteros Z, cada ideal puede ser generado por un solo número, por el cual los conceptos de “ideal” y “número” son casi idénticos en Z (y en cualquier dominio de ideales principales). En un anillo en general, el concepto “ideal” permite generalizar muchas propiedades de los enteros, como ideales primos en lugar de números primos. En ciertas clases de anillos importantes de la teoría de números, como son los dominios Dedekind, se tiene una nueva versión del teorema fundamental de la aritmética: Cada ideal distinto de cero tiene una descomposición única como un producto de ideales primos. Muchos resultados importantes de la teoría de anillos conmutativos dependen de la condición de finitud, como en el caso de los anillos Noetherianos donde toda sucesión ascendente de ideales se estaciona o termina. El Teorema Básico de Hilbert (A[x] es Noetheriano si A lo es) establece la importancia de incluir en su demostración la condición de finitud. Empezaremos por revisar algunos conceptos y resultados generales sobre anillos, homomorfismos, ideales, anillo cociente, anillo de polinomios, factorización, localización y módulos que serán base fundamental para tratar el tema: Introducción a la teoría de los anillos conmutativos.