Movimiento de una partícula en el campo gravitatorio producido por una masa distribuida uniformemente en un anillo

Abstract

Desde el comienzo de la humanidad, uno de los problemas más fascinantes que ha enfrentado el hombre ha sido predecir el movimiento de los cuerpos celestes. La mecánica de Newton nos ha proporcionado las herramientas necesarias para resolver estos problemas; sin embargo, la solución de éstos mediante fórmulas simples se obtiene solamente para una cantidad muy limitada, debido a que las leyes de movimiento nos conducen a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Este sistema de ecuaciones es simple, por ejemplo, en el caso del movimiento de dos partículas sometidas a su fuerza de gravedad. Este problema fue resuelto analíticamente en el siglo XVII y nos ha permitido establecer un modelo mecánico muy simple para describir adecuadamente el movimiento de los satélites alrededor de un planeta. Es evidente que en este caso se considera que el planeta y sus satélites tienen simetría esférica. En una situación real, el planeta no tiene simetría esférica, como en el caso del planeta Saturno. Por lo que la descripción del movimiento de los satélites alrededor de Saturno se complica porque: es muy difícil expresar el potencial gravitatorio del planeta en términos de funciones elementales. aunque se determine el potencial gravitatorio se tienen que resolver ecuaciones diferenciales de movimiento no lineales y acopladas. Por estas razones durante el siglo XIX y gran parte del siglo XX se determinan las trayectorias de los satélites mediante la teoría de perturbaciones. Sin embargo, gracias el avance de la computación, ahora podemos determinar estos movimientos usando simplemente la segunda ley de Newton, haciendo previamente la expansión de términos del potencial gravitatorio y considerando los primeros términos. El objetivo del presente informe es estudiar el caso particular del movimiento bidimensional de una partícula alrededor de un anillo en reposo que representa a Saturno. A pesar de que la distribución de masa es geométricamente simple nos obligará a determinar el potencial gravitatorio mediante una serie de polinomios de Legendre. Una vez obtenidas las ecuaciones diferenciales ordinarias de movimiento, se resolverán utilizando el método numérico de Runge-Kutta. Los parámetros considerados (masa del anillo y el radio del anillo) serán los del planeta Saturno y las condiciones iniciales de la partícula serán del orden de magnitud de la distancia y rapidez de sus satélites. Como un caso más general se analizará el movimiento de una partícula alrededor de dos anillos que se encuentran fijos. Se espera que el presente trabajo se considere como punto de referencia para determinar movimiento de partícula en problemas reales, como el movimiento de una partícula (caso tridimensional) alrededor de un cuerpo elipsoidal.