El calor de las finanzas : La Ecuación de Black-Scholes-Mertón

Abstract

Uno de los desarrollos más notables en los mercados financieros, ha sido la comercialización de instrumentos derivados. En efecto, en el año 2007, el volumen total de transacciones en estos instrumentos ascendió a 516 mil millones de dólares, de los cuales más de la mitad correspondió a derivados de tasas de interés y dónde diariamente se negocian 5 mil millones de dólares (Bank of Internacional Settlements (2007), Salazar (2008)). Los derivados son instrumentos financieros cuyo precio no sólo varía en función de los tradicionales parámetros como riesgo y plazo, sino que, también depende de la cotización que alcance en el mercado otro activo, al que se denomina subyacente. En este sentido su precio se "deriva" de la evolución del precio y de la cantidad de otro activo relacionado. Existen una serie de instrumentos derivados que se clasifican en categorías y en tipologías de uso. Entre los más importantes, clasificados por categorías, se encuentran los futuros, contratos a plazo (forwards), swaps, opciones de venta y compra, garantías. Mientras que los clasificados por tipologías, se encuentran los derivados de tipos de interés, acciones, índices, tipo de cambio, cobre, bienes agrícolas, metales, petróleo, crédito. Extensa información para la enseñanza y comprensión sobre este tipo de instrumentos se encuentra en la literatura y en libros formales de la academia. Dentro de los más citados y usados en la enseñanza de derivativos, a nivel intermedio y avanzado se encuentran en primer lugar Hull (2002), y lo siguen libros como Kolb (1997), Miller (1997), Durban (2005) y Das (1994), entre otros. Esta literatura carece de desarrollos explicativos detallados de los principios y fundamentos de la matemática, para entender la valoración de los derivados financieros. Si bien el objetivo pedagógico de este tipo de libros no es necesariamente profundizar en los fundamentos matemáticos, es precisamente esta sobre-simplificación formal que se detecta en estos textos de estudio la que ha contribuido en su justa medida, a mi juicio, a explicar la actual crisis financiera internacional. En los programas formales de MBA y de diplomas especializados en el mundo y por cierto en Perú, los fundamentos matemáticos no son mencionados, y su tratamiento es el mismo que se entrega al desarrollo de una fórmula, por ejemplo, como la derivación de la solución a la ecuación polinómica de segundo grado por todos conocidas y enseñada en la educación secundaria. El caso más ilustrativo al respecto es el artículo seminal para la valoración moderna de derivados financieros, escrito en 1973 por el matemático Fischer Black y el economista Myron Scholes. En este artículo, se muestra una fórmula directa para valorar opciones financieras usando para ello como fundamento central la formulación de la ecuación de calor de Fourier. Esta ecuación es solamente citada, más no desarrollada ni menos explicada. La prescripción del paper es una fórmula matemática, que es la que se presenta en los cursos de finanzas y programas de negocios especializados, y es la que los traders y operadores de derivados usan de manera usual en las valoraciones de miles de millones de dólares anualmente. Se trata de colocarle un precio a un instrumento derivado, y por lo tanto comercializarlo en un mercado primario o secundario, que esencialmente contiene variables aleatorias que siguen procesos estocásticos. Para lo anterior, es necesario conocer, evidentemente una serie de principios y fundamentos de teoría de probabilidades y de movimientos estocásticos estandarizados o semi estandarizados. Asimismo, es necesario conocer principios básicos de cálculo estocástico, algunos teoremas y lemas y algunos principios de matemática para la física aplicada. A partir de esos elementos anteriores, recién es posible comprender el desarrollo por etapas, de la valoración financiera de instrumentos derivados y sus aplicaciones.