Un espacio de diferenciabilidad GÂTEAUX que no es ASPLUND débil

Abstract

Presentamos la construcción de un espacio de diferenciabilidad Gâteaux que no es Asplund débil basándonos principalmente en los siguientes resultados: 1) Si (X* ; ω*) es débilmente Stegall entonces X es un espacio de diferenciabilidad Gâteaux. 2) Si (C(KA); ||•||∞) es Asplund débil entonces A es perfectamente magro. Más adelante probaremos la existencia de un subconjunto A denso no magro de (0; 1) y A un σ−ideal fuertemente topológicamente estable en ({0; 1}N; p) de modo que, bajo ciertas condiciones especiales, el espacio (BVA[0; 1]; A) sea aproximadamente Stegall con respecto a A. En consecuencia, (C(KA)*; ω*) es débilmente Stegall. Finalmente, por (1) y (2), concluiremos que C(KA) es un espacio de diferenciabilidad Gâteaux que no es Asplund débil.

We present the construction of a Gâteaux differentiability space that is not weak Asplund based mainly on the following results: 1) If (X* ; ω*) is weakly Stegall then X is a Gâteaux differentiability space. 2) If (C(KA); ||•||∞) is weak Asplund then A is perfectly meagre. Later we will prove the existence of a subset A dense non-meager of (0; 1) and A an σ−ideal strongly topologically stable in ({0; 1}N; p) so that, under certain special conditions, (BVA[0; 1]; A) is approximately Stegall with respect to A. Consequently, (C(KA)*; ω*) is weakly Stegall. Finally, by (1) and (2), we will conclude that C(KA) is a Gâteaux differentiability space that is not weak Asplund.