Fluctuaciones del camino aleatorio beta y modelos aleatorios en la clase KPZ

Abstract

Los objetivos de esta tesis son principalmente dos. El primer objetivo es dar una visión general de la clase de universalidad KPZ y algunos modelos que se encuentran dentro de esta clase. El segundo y principal objetivo es probar una conjetura de Barraquand y Corwin en [BC17] donde se plantea que las fluctuaciones de la energía libre del polímero beta y, análogamente, las fluctuaciones del logaritmo de la posición del camino aleatorio beta, son del orden t1/3 y convergen débilmente a la distribución de Tracy-Widom la cual surge del estudio de las fluctuaciones del mayor autovalor de cierta matriz aleatoria gaussiana. Barraquand y Corwin prueban dicha conjetura solo para el caso particular en el que los parámetros a y 3 que definen las probabilidades de transición en el camino aleatorio beta, son ambos iguales a 1. En la presente tesis abordamos el caso general en donde estos parámetros pueden tomar cualquier valor positivo y también el caso en el que ambos parámetros varían con el tiempo. En ambos casos conseguimos probar que las fluctuaciones siguen siendo del orden t1/3 y la convergencia a la distribución de Tracy-Widom. En la introducción mencionamos brevemente algunos resultados previos sobre algunos modelos dentro la clase de universalidad KPZ y mencionamos algunas referencias importantes para quienes deseen profundizar en dichos resultados. En el capítulo 1 iniciamos introduciendo brevemente una herramienta que será usada de manera intensiva a lo largo de toda la tesis, el determinante de Fredholm. Aquí damos una idea que motiva su definición formal y enunciamos un teorema de convergencia. En el resto de este capítulo presentamos algunos modelos solubles en la clase KPZ: dos modelos de matrices aleatorias y el polímero log-gamma. Nos enfocamos principalmente en el estudio de las fluctuaciones del mayor autovalor en las matrices aleatorias y de las fluctuaciones de la energía libre en el caso del modelo polímero. En el capítulo 2 definimos el camino aleatorio beta y el polímero beta y enunciamos el teorema de fluctuaciones para el caso a = 3 = 1. Presentamos parte de la prueba de este teorema comenzando con la fórmula que expresa la transformada de Laplace del logaritmo de la función P(t,x) que describe la posición del camino aleatorio como un determinante de Fredholm. Presentamos la prueba de esta fórmula que involucra el método conocido como Bethe ansatz que además es usado para obtener formulas análogas en otros modelos dentro de la clase KPZ. La parte final de la prueba se deja para el capítulo 3. En el capítulo 3 enunciamos el teorema de fluctuaciones del logaritmo de la función P(t, x) en el camino aleatorio beta con parámetros a y 3 arbitrarios y con parámetros at y 3t que dependen del tiempo bajo cierto régimen de convergencia. Presentamos la prueba completa que involucra varios pasos. Finalmente, presentamos en el apéndice varios cálculos que involucran a las funciones poligamma que son necesarios para probar los resultados presentados en el capítulo 3.