Estudio de la continuidad de un operador relacionado al criterio de Nyman-Beurling para la hipótesis de Riemann

Abstract

El objetivo de este trabajo es analizar la continuidad de la función

II X ,P : [0,1]n -> L2 (0, oo) ( Ɵ1 ,· · · , Ɵn) -> Pvect( PƟ1 , .. pƟn )(SX ) ,

donde x es la función característica del intervalo (0, 1] en (0, ∞), Pok(s) = {ok/s} para k = 1, . . . , n y Pvect(ρα1 , . . . , ραn ) (x) es la proyección ortogonal de x sobre el subespacio vectorial

generado por el conjunto {ρα1 , . . . , ραn } en L2 (0, ∞).

La elección de este operador es motivada por el criterio de Beurling que revela la dualidad existente entre las propiedades de la función zeta de Riemann y las de la función parte fraccionaria. Comenzamos presentando la función (, el producto de Euler asociado a ella y demostrando su ecuación funcional. A continuación, exponemos la prueba del criterio de Beurling, el cual nos proporciona una equivalencia para la hipótesis de Riemann en términos de la densidad en L2 ( 0,∞) del espacio formado por las funciones Seguidamente caracterizamos la continuidad de un operador más general donde X es un espacio topológico, H un espacio de Hilbert y las funciones uk: X -> H son continuas para k = 1,...., n. Tal caracterización se da en términos de la convergencia débil de subespacios vectoriales de H. Introducimos la medida de Haar m de un grupo abeliano localmente compacto G, y damos condiciones suficientes sobre una función f Ɛ L1(G, m) que garanticen la continuidad de donde f'Ɵk es una dilatación de f para k = 1, . . . , n y y Ɛ L2 (G, m). Finalmente, tomamos CJ = (O, ∞), f (t) = {i/t } y = x y demostramos que en este caso se verifican las condiciones discutidas previamente. Esto establece la continuidad de II x,p·