Análisis numérico del movimiento de un caso particular del problema restringido de los tres cuerpos

Abstract

El objeto del presente trabajo es analizar numéricamente un caso particular del problema restringido de los tres cuerpos, aplicado al sistema Sol-Júpiter-asteroides (Troyanos); Sol-Tierra-asteroides. Recordemos que el problema de los tres cuerpos consiste en estudiar un sistema aislado formado por tres partículas sometido a sus fuerzas gravitatorias. El matemático y físico Joseph Louis. Lagrange, estudio el problema de los tres cuerpos y determinó que para tres cuerpos de masa M1, M2, M3 se pueden encontrar configuraciones orbitales estables para ciertas condiciones iniciales y posiciones determinadas. Estas condiciones son: La masa M1 sea igual o 25 veces mayor que la masa M2. La masa M3 sea mucho menor que las masa M1 y M2. Las trayectorias estarán en un mismo plano Lagrange determinó una solución particular donde la masa M3 tiene puntos de equilibrio, con respecto a un sistema de referencia no inercial, de tal modo que el eje X pasa por los cuerpos de masa M1 y M2. A estos puntos le llamo “Puntos de Liberación”. También son conocidos como puntos de Lagrange L1, L2, L3, L4, y L5; ver [10], En el ejemplo de la fig.1 M1 es el Sol, M2 un planeta y en L4 o L5 podría estar un asteroide o un satélite artificial de masa M3. Se demuestra que solo los puntos L4 y L5 proporcionan la suficiente estabilidad para mantener un cuerpo, un tiempo suficientemente largo, (relativamente). En nuestro sistema solar, algunos planetas cumplen estas condiciones, como el caso Sol- Júpiter, en este caso los puntos L1, L2, y L3 se encuentran en la recta que une el Sol con Júpiter; los puntos L4 y L5 están en los vértices de los triángulos equiláteros sobre la órbita de Júpiter, uno esta adelantada 60° y el otro retrasado 60°. Todos estos puntos son en realidad de equilibrio inestable o meta estable, siendo los de los vértices triangulares L4 y L5 los que muestran un mayor grado de estabilidad; lo cual no quiere decir que un asteroide ubicado en L4 o L5 permanecerá siempre en dicho punto, ya que su movimiento real es una oscilación alrededor de dicho punto de Lagrange; las observaciones astronómicas describen unas órbitas cerradas en forma de largas lágrimas achatadas y elípticas. Como se ve en la figura 2. Para el caso de Sol-Júpiter, a los asteroides ubicados en los puntos L4 y L5 les denominan “Asteroides Troyanos”